Discussione sistema lineare parametrico
Salve, io ho il seguente sistema lineare di 3 equazioni in due incognite, con parametro:
$ { ( ax-(2+a)y=1 ),( -2x+(a+2)y=1 ),( x-ay=1 ):} $
e quello che mi si chiede è di farne la discussione. L’approccio che ho sempre seguito, e desidero continuare a seguire, perché è quello che mi è stato spiegato dal professore è il seguente:
1)Si considera il determinante della matrice completa B: $ | B| =2a^2-8 $
2) Determiniamo i valori di a per cui $|B|=0$: $|B|=0$→$2a^2-8=0$→$a=2$; $a=-2$.
3) Determiniamo i valori di a per cui $|B|≠0$: $a≠2$; $a≠-2$.
Per $a≠2$; $a≠-2$→$r(B)=3$→Sistema impossibile.
4) Per $a=2$, la matrice $A$ è (con la sostituzione):
$A$=$ ( ( 2 , -4 ),( -2 , 4 ),( 1 , -2 ) ) $
Il $r(A)$ è $1$ perché tutti i minori di ordine 2 di A sono nulli.
5) Per $a =2$, la matrice $B$ è (con la sostituzione):
$B$= $ ( ( 2 , -4 , 1 ),( -2 , 4 , 1 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
Il $r(B)= 2$, perché il determinante di $B$ è nullo e ho un minore di ordine 2: $ ( ( 4 , 1 ),( -2 , 1 ) ) $ con determinante diverso da 0.
6) Per $a = -2$, la matrice $A$ è (con la sostituzione):
$A$=$ ( ( -2 , 0),( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $
Il $r(A) = 2$ perché ho un minore di ordine 2: $ ( ( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) )$ con determinante diverso da 0.
7) Per $a=-2$, la matrice $B$ è (con la sostituzione):
$B$= $ ( ( -2 , 0 , 1 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $.
Il $r(B) = 2$ perché il determinante di B è nullo e ho almeno un minore di ordine $2$ con determinante diverso da zero, per esempio il minore: $ ( ( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $.
8) A questo punto posso iniziare a fare la discussione del sistema e a rispondere alle domande che mi pone l’esercizio, che sono le seguenti:
a) esiste un $a$ reale tale che il sistema è indeterminato: falso.
b) per $a = -2$ la coppia $(-1/2; 3/4)$ è una delle infinite soluzioni del sistema: falso.
c) per $a = -2$ la coppia $(-1/2; 3/4)$ è l’unica soluzione: vero.
d) esistono infiniti valori di a tali che il sistema è determinato: falso.
e) esistono infiniti valori di a tali che il sistema è impossibile: vero.
f) esiste un solo valore di a reale per cui il sistema è impossibile: falso.
E fin qui tutto è chiaro.
Il problema si pone se ho il seguente sistema (che devo risolvere seguendo sempre lo stesso approccio risolutivo):
$ { ( ax+2y=-a ),( (a+1)x+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $
In questo caso il determinante della matrice $B$ è nullo perché la terza riga è proporzionale alla prima riga. Posso quindi desumere subito che il $r(B)$ massimo è 2.
Il problema che mi blocca è il seguente: io so che il rango di una $3x3$ è $1$ se tutti e $9$ i minori di ordine $2$ sono nulli, e non riuscendo ad estrarre nessun minore di ordine due senza parametro, cosa dovrei fare per verificare quando il rango è $1$? La domanda che mi pongo è la seguente: il valore del parametro per cui il determinante della matrice di ordine $2$ si annulla dev’essere comune a tutti e 9 i minori, quindi sono costretto a tutti i costi a calcolarmi tutti e 9 i minori, o c'è qualche trucchetto (sempre però rimanendo in questo schema)???
$ { ( ax-(2+a)y=1 ),( -2x+(a+2)y=1 ),( x-ay=1 ):} $
e quello che mi si chiede è di farne la discussione. L’approccio che ho sempre seguito, e desidero continuare a seguire, perché è quello che mi è stato spiegato dal professore è il seguente:
1)Si considera il determinante della matrice completa B: $ | B| =2a^2-8 $
2) Determiniamo i valori di a per cui $|B|=0$: $|B|=0$→$2a^2-8=0$→$a=2$; $a=-2$.
3) Determiniamo i valori di a per cui $|B|≠0$: $a≠2$; $a≠-2$.
Per $a≠2$; $a≠-2$→$r(B)=3$→Sistema impossibile.
4) Per $a=2$, la matrice $A$ è (con la sostituzione):
$A$=$ ( ( 2 , -4 ),( -2 , 4 ),( 1 , -2 ) ) $
Il $r(A)$ è $1$ perché tutti i minori di ordine 2 di A sono nulli.
5) Per $a =2$, la matrice $B$ è (con la sostituzione):
$B$= $ ( ( 2 , -4 , 1 ),( -2 , 4 , 1 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
Il $r(B)= 2$, perché il determinante di $B$ è nullo e ho un minore di ordine 2: $ ( ( 4 , 1 ),( -2 , 1 ) ) $ con determinante diverso da 0.
6) Per $a = -2$, la matrice $A$ è (con la sostituzione):
$A$=$ ( ( -2 , 0),( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $
Il $r(A) = 2$ perché ho un minore di ordine 2: $ ( ( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) )$ con determinante diverso da 0.
7) Per $a=-2$, la matrice $B$ è (con la sostituzione):
$B$= $ ( ( -2 , 0 , 1 ),( -2 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 1 ) ) $.
Il $r(B) = 2$ perché il determinante di B è nullo e ho almeno un minore di ordine $2$ con determinante diverso da zero, per esempio il minore: $ ( ( -2 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $.
8) A questo punto posso iniziare a fare la discussione del sistema e a rispondere alle domande che mi pone l’esercizio, che sono le seguenti:
a) esiste un $a$ reale tale che il sistema è indeterminato: falso.
b) per $a = -2$ la coppia $(-1/2; 3/4)$ è una delle infinite soluzioni del sistema: falso.
c) per $a = -2$ la coppia $(-1/2; 3/4)$ è l’unica soluzione: vero.
d) esistono infiniti valori di a tali che il sistema è determinato: falso.
e) esistono infiniti valori di a tali che il sistema è impossibile: vero.
f) esiste un solo valore di a reale per cui il sistema è impossibile: falso.
E fin qui tutto è chiaro.
Il problema si pone se ho il seguente sistema (che devo risolvere seguendo sempre lo stesso approccio risolutivo):
$ { ( ax+2y=-a ),( (a+1)x+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $
In questo caso il determinante della matrice $B$ è nullo perché la terza riga è proporzionale alla prima riga. Posso quindi desumere subito che il $r(B)$ massimo è 2.
Il problema che mi blocca è il seguente: io so che il rango di una $3x3$ è $1$ se tutti e $9$ i minori di ordine $2$ sono nulli, e non riuscendo ad estrarre nessun minore di ordine due senza parametro, cosa dovrei fare per verificare quando il rango è $1$? La domanda che mi pongo è la seguente: il valore del parametro per cui il determinante della matrice di ordine $2$ si annulla dev’essere comune a tutti e 9 i minori, quindi sono costretto a tutti i costi a calcolarmi tutti e 9 i minori, o c'è qualche trucchetto (sempre però rimanendo in questo schema)???
Risposte
"Francobati":
Il problema si pone se ho il seguente sistema (che devo risolvere seguendo sempre lo stesso approccio risolutivo):
$ { ( ax+2y=-a ),( (a+1)x+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $
In questo caso il determinante della matrice $B$ è nullo perché la terza riga è proporzionale alla prima riga. Posso quindi desumere subito che il $r(B)$ massimo è 2.
Il problema che mi blocca è il seguente: io so che il rango di una $3x3$ è $1$ se tutti e $9$ i minori di ordine $2$ sono nulli, e non riuscendo ad estrarre nessun minore di ordine due senza parametro, cosa dovrei fare per verificare quando il rango è $1$? La domanda che mi pongo è la seguente: il valore del parametro per cui il determinante della matrice di ordine $2$ si annulla dev’essere comune a tutti e 9 i minori, quindi sono costretto a tutti i costi a calcolarmi tutti e 9 i minori, o c'è qualche trucchetto (sempre però rimanendo in questo schema)???
abbiamo il sistema $ \Sigma:={ ( ax+2y=-a ),( (a+1)x+4y=-3a+1 ),( -ax-2y=a ):} $ la cui matrice incompleta è $A(\Sigma):=((a,2),(a+1,4),(-a,-2))$ mentre la matrice completa è $A_b(\Sigma):=((a,2,-a),(a+1,4,1-3a),(-a,-2,a))$, nella prima matrice il rango può essere alpiù \( 2 \) mentre nella seconda alpiù \( 3 \) ( ma non è \( 3 \) perchè il determinante è \( 0 \) quindi il rango può essere alpiù \( 2 \), come nella completa ed ovviamente il sistema è compatibile). In primis valutiamo quando il rango di \(A(\Sigma)\) è due, ovvero quando esiste un suo minore di ordine \( 2 \) non nullo, consideriamo questa sottomatrice $((a,2),(a+1,4))$ e valutando il (suo) determinante \( 4a-2a-2=2a-2=2(a-1)\) esso è nullo se \( a=1\), mentre è non nullo se \( a \neq 1 \); quindi se il precedente minore è nullo il rango di tutte e due le matrici è \( 1\), avendo così un sistema compatibile indeterminato con \( \infty^1 \) soluzioni.. mentre se il precedente minore è non nullo il rango di tutte e due le matrici è \(2 \) ed è uguale al numero delle incognite, avendo così un sistema compatibile determinato, e Crameriano,... sta a te adesso decidere come calcolare queste soluzioni..
Saluti
Puoi osservare che l'ultima riga può essere eliminata (in quanto la terza equazione coincide con la seconda), per cui ridurti a studiare un sistema 2x2 formato dalle prime due equazioni.
@ciampax,
speravo nell'autore.. cmq si , il sistema iniziale è equivalente a quello da te suggerito...
@Francobati,
così facendo le soluzioni nel caso del sistema Crameriano sono ovvie, valuta le soluzioni quando il sistema è indeterminato...
Saluti
"ciampax":
Puoi osservare che l'ultima riga può essere eliminata (in quanto la terza equazione coincide con la seconda), per cui ridurti a studiare un sistema 2x2 formato dalle prime due equazioni.
speravo nell'autore.. cmq si , il sistema iniziale è equivalente a quello da te suggerito... @Francobati,
così facendo le soluzioni nel caso del sistema Crameriano sono ovvie, valuta le soluzioni quando il sistema è indeterminato...
Saluti
Scusa garnak, non avevo proprio visto che stavi scrivendo anche tu.
@ciampax,
alle volte capita... figurati!!
Saluti
@Francobati,
il trucco che ti interessa sapere è il Teorema di Rouché-Capelli puoi consultare questo post 
Saluti
"ciampax":
Scusa garnak, non avevo proprio visto che stavi scrivendo anche tu.
alle volte capita... figurati!!
Saluti
@Francobati,
il trucco che ti interessa sapere è il Teorema di Rouché-Capelli
puoi consultare questo post Saluti
Ok grazie mille, ma questo, fortunatamente, era proprio il modo in cui lo risolvevo, quindi a questo punto la domanda è: scegliendo un solo minore di ordine $2$ e calcolandone il determinante, io sto dando per certo che il valore di $a=1$, per cui il minore di ordine $2$ è nullo, è un valore comune a tutti e $9$ i minori di ordine $2$ della matrice completa, cioè che tutti e $9$ i minori di ordine $2$ della matrice completa si annullano per $a = 1$, ma chi mi dà questa certezza senza necessità di calcolarli tutti e $9$? è proprio questo il mio grande problema. Scusate se insisto....
Oppure posso concludere che è proprio il minore nullo di ordine $3$ che mi dà la CERTEZZA che tutti e $9$ i minori di ordine $2$ si annullano per lo stesso valore di $a = 1$? è questa la risposta???
Oppure posso concludere che è proprio il minore nullo di ordine $3$ che mi dà la CERTEZZA che tutti e $9$ i minori di ordine $2$ si annullano per lo stesso valore di $a = 1$? è questa la risposta???
@Francobati,
non ti seguo.... Potresti essere più chiaro!
Saluti
P.S.= il determinante è \( 2(a-1)\) ed esso è nullo se \( a=1\) mentre è non nullo se \( a \neq 1 \), ovviamente per dire che il rango è \( 2 \) mi basta prendere o trovare un minore non nullo di ordine \( 2 \), per definizione di rango, che è quello che ho fatto... quello al quale tu forse ti riferisci è il metodo dei minori orlati di Kronecker ..
"Francobati":
Ok grazie mille, ma questo, fortunatamente, era proprio il modo in cui lo risolvevo, quindi a questo punto la domanda è: scegliendo un solo minore di ordine $2$ e calcolandone il determinante, io sto dando per certo che il valore di $a=1$, per cui il minore di ordine $2$ è nullo, è un valore comune a tutti e $9$ i minori di ordine $2$ della matrice completa, cioè che tutti e $9$ i minori di ordine $2$ della matrice completa si annullano per $a = 1$, ma chi mi dà questa certezza senza necessità di calcolarli tutti e $9$? è proprio questo il mio grande problema. Scusate se insisto....
non ti seguo.... Potresti essere più chiaro!
Saluti
P.S.= il determinante è \( 2(a-1)\) ed esso è nullo se \( a=1\) mentre è non nullo se \( a \neq 1 \), ovviamente per dire che il rango è \( 2 \) mi basta prendere o trovare un minore non nullo di ordine \( 2 \), per definizione di rango, che è quello che ho fatto... quello al quale tu forse ti riferisci è il metodo dei minori orlati di Kronecker ..
Tu concordi con me che i minori di ordine $2$ di una matrice $3x3$ sono in totale $9$? Se si tratta di una matrice parametrica, per poter concludere che la matrice $3x3$ ha rango 1, tutti e $9$ i minori di ordine $2$ si devono annullare per lo stesso valore di $a$ (parametro), è vero o no? Cioè se io ho un minore di ordine $2$ che si annulla per un valore di $a$ (per esempio per $1$) e un altro minore di ordine $2$ che si annulla per un altro valore (ad esempio per $2$), i due valori di $a$ non sono comuni (e non sono uguali) e quindi posso concludere che la matrice completa $B$ $3x3$ ha rango $2$. La domanda è: come faccio a sapere, calcolando un solo minore e non tutti e nove, che il valore del parametro per cui il determinante del minore si annulla, è lo stesso valore di tutti i rimanenti $8$ minori?
@Francobati,
mmm ok.. se parli della \( 3 \times 3 \) in questo caso ti stai riferendo alla matrice $A_b(\Sigma):=((a,2,-a),(a+1,4,1-3a),(-a,-2,a))$, il rango di questa può essere alpiù \( 3 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) avente determinante non nullo ma come vedi l'unica sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) è $A_b(\Sigma)$ stessa ed il suo determinate è nullo ergo il rango di $A_b(\Sigma)$ non è \( 3 \), può essere \( 2 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \) il cui determinante è non nullo, una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \), e tenendo conto del precedente abbiamo che quella sottomatrice ha determinante nullo se \( a=1 \) e non nullo se \( a \neq 1 \), quindi se \( a \neq 1 \) allora il rango è \( 2 \) mentre se \(a =1 \) allora la matrice diventa $A_b(\Sigma):=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$ e di questa abbiamo detto prima che il rango non è \( 3 \) ma non è nemmeno perchè come dici tu tutti le sottomatrici quadrate hanno deterimante nullo, ma certamente il rango è \( 1 \)...
Spero di aver capito la questione!
Saluti
mmm ok.. se parli della \( 3 \times 3 \) in questo caso ti stai riferendo alla matrice $A_b(\Sigma):=((a,2,-a),(a+1,4,1-3a),(-a,-2,a))$, il rango di questa può essere alpiù \( 3 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) avente determinante non nullo ma come vedi l'unica sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) è $A_b(\Sigma)$ stessa ed il suo determinate è nullo ergo il rango di $A_b(\Sigma)$ non è \( 3 \), può essere \( 2 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \) il cui determinante è non nullo, una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \), e tenendo conto del precedente abbiamo che quella sottomatrice ha determinante nullo se \( a=1 \) e non nullo se \( a \neq 1 \), quindi se \( a \neq 1 \) allora il rango è \( 2 \) mentre se \(a =1 \) allora la matrice diventa $A_b(\Sigma):=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$ e di questa abbiamo detto prima che il rango non è \( 3 \) ma non è nemmeno perchè come dici tu tutti le sottomatrici quadrate hanno deterimante nullo, ma certamente il rango è \( 1 \)...
Spero di aver capito la questione!
Saluti
@Francobati,
mmm ok.. se parli della \( 3 \times 3 \) in questo caso ti stai riferendo alla matrice $A_b(\Sigma):=((a,2,-a),(a+1,4,1-3a),(-a,-2,a))$, il rango di questa può essere alpiù \( 3 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) avente determinante non nullo ma come vedi l'unica sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) è $A_b(\Sigma)$ stessa ed il suo determinate è nullo ergo il rango di $A_b(\Sigma)$ non è \( 3 \), può essere \( 2 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \) il cui determinante è non nullo, una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \), e tenendo conto del precedente abbiamo che quella sottomatrice ha determinante nullo se \( a=1 \) e non nullo se \( a \neq 1 \), quindi se \( a \neq 1 \) allora il rango è \( 2 \) mentre se \(a =1 \) allora la matrice diventa $A_b(\Sigma):=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$ e di questa abbiamo detto prima che il rango non è \( 3 \) ma non è nemmeno \(2 \) perchè come dici tu tutte le sottomatrici quadrate hanno deterimante nullo, ma certamente il rango è \( 1 \)...
Spero di aver capito la questione!
Saluti
P.S.=In realtà basta ancora meno, e non vorrei sbagliare dato l'orario, se per \( a \neq 1 \) il rango è \( 2 \) come potrebbe essere, a livello anche logico, che anche per \( a =1 \) il rango sia \( 2 \)..??
mmm ok.. se parli della \( 3 \times 3 \) in questo caso ti stai riferendo alla matrice $A_b(\Sigma):=((a,2,-a),(a+1,4,1-3a),(-a,-2,a))$, il rango di questa può essere alpiù \( 3 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) avente determinante non nullo ma come vedi l'unica sottomatrice quadrata di ordine \( 3 \) è $A_b(\Sigma)$ stessa ed il suo determinate è nullo ergo il rango di $A_b(\Sigma)$ non è \( 3 \), può essere \( 2 \) e per dirlo mi basta trovare una sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \) il cui determinante è non nullo, una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine \( 2 \), e tenendo conto del precedente abbiamo che quella sottomatrice ha determinante nullo se \( a=1 \) e non nullo se \( a \neq 1 \), quindi se \( a \neq 1 \) allora il rango è \( 2 \) mentre se \(a =1 \) allora la matrice diventa $A_b(\Sigma):=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1))$ e di questa abbiamo detto prima che il rango non è \( 3 \) ma non è nemmeno \(2 \) perchè come dici tu tutte le sottomatrici quadrate hanno deterimante nullo, ma certamente il rango è \( 1 \)...
Spero di aver capito la questione!
Saluti
P.S.=In realtà basta ancora meno, e non vorrei sbagliare dato l'orario, se per \( a \neq 1 \) il rango è \( 2 \) come potrebbe essere, a livello anche logico, che anche per \( a =1 \) il rango sia \( 2 \)..??
Le domande finali dell'esercizio a cui rispondere sono: Quale delle seguenti asserzioni è FALSA?
- Il sistema è sempre possibile: VERA.
- Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema è indeterminato: FALSA.
- Per $a = 2, (x, y) = (1,−2)$ è l’unica soluzione del sistema: VERA.
- Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema ammette la soluzione nulla: ??????
- Esistono infiniti valori di $a epsilon R$ per cui il sistema è possibile: VERA.
Come si verifica praticamente (con i numeri e i calcoli) la veridicità di questa: "Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema ammette la soluzione nulla"?
- Il sistema è sempre possibile: VERA.
- Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema è indeterminato: FALSA.
- Per $a = 2, (x, y) = (1,−2)$ è l’unica soluzione del sistema: VERA.
- Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema ammette la soluzione nulla: ??????
- Esistono infiniti valori di $a epsilon R$ per cui il sistema è possibile: VERA.
Come si verifica praticamente (con i numeri e i calcoli) la veridicità di questa: "Non esiste $a epsilon R$ tale che il sistema ammette la soluzione nulla"?
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