Applicazione lineare inversa
Ciao a tutti!
Mi si chiede: si dica se esiste una funzione lineare L di R^3 in R^3 tale che L(((1,1,1)) = (1,1,1), L((1, 0,−1)) = (1,1,1), L((1,0,0)) = (−1,0,−2).
In caso di risposta affermativa, si dica se è unica e si calcoli l’immagine di (0,0,1).
Calcolare N(L), Im(L) e L^-1 ((1, 1, 1)).
Risolvendo ho trovato L(x,y,z)=(-x+4y-2z,2y-z,-2x+6y-3z), N(L)=(0,1,2) e Im(L)=(-1,0,-2),(4,2,6),(-2,-1,-3).
Ora mi chi si chiede L^-1 ((1, 1, 1)), ma la matrice associata alla applicazione lineare ha det=0, quindi il rango non è massimo. Perciò l'applicazione non è biiettiva, quindi non posso calcolare l'inversa?
Grazie
Mi si chiede: si dica se esiste una funzione lineare L di R^3 in R^3 tale che L(((1,1,1)) = (1,1,1), L((1, 0,−1)) = (1,1,1), L((1,0,0)) = (−1,0,−2).
In caso di risposta affermativa, si dica se è unica e si calcoli l’immagine di (0,0,1).
Calcolare N(L), Im(L) e L^-1 ((1, 1, 1)).
Risolvendo ho trovato L(x,y,z)=(-x+4y-2z,2y-z,-2x+6y-3z), N(L)=(0,1,2) e Im(L)=(-1,0,-2),(4,2,6),(-2,-1,-3).
Ora mi chi si chiede L^-1 ((1, 1, 1)), ma la matrice associata alla applicazione lineare ha det=0, quindi il rango non è massimo. Perciò l'applicazione non è biiettiva, quindi non posso calcolare l'inversa?
Grazie
Risposte
Ti sta chiedendo di calcolare la preimmagine del vettore $(1,1,1)$, non l'inversa di $L$.
I tre vettori dati \((1,1,1)\), \((1,0,-1)\) e \((1,0,0)\) sono linearmente indipendenti e quindi, essendo \(3\), una base. Siccome ogni applicazione lineare è univocamente determinata dalla immagine di una base l'applicazione esiste ed è ben definita.
Siccome \((0,0,1) = (1,0,0) - (1,0,-1)\) si ha \(L(0,0,1) = L(1,0,0) - L(1,0,-1) = (-1,0,-2) - (1,1,1) = (-2,-1,-3)\). L'immagine di \(\displaystyle L \) è generata dalle immagini di una base. Perciò si ha che \(\displaystyle Im(L) \) è generato da \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (-1,0,-2) \) e ha dimensione 2.
Con \(\displaystyle N(L) \) immagino che tu intenda quello che io segno con \(\ker L\). Siccome \(\displaystyle L(1,1,1) = L(1,0,-1) \) si ha che \(\displaystyle (0,1,2) = (1,1,1) - (1,0,-1) \in N(L)\). Inoltre \(\displaystyle \dim N(L) = \dim V - \dim Im(L) = 3-2 = 1 \) perciò \(\displaystyle N(L) = \mathbb{R}(0,1,2) \).
La controimmagine di (1,1,1) è generata dai vettori indipendenti \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (1,0,-1) \) (praticamente per ipotesi).
Siccome \((0,0,1) = (1,0,0) - (1,0,-1)\) si ha \(L(0,0,1) = L(1,0,0) - L(1,0,-1) = (-1,0,-2) - (1,1,1) = (-2,-1,-3)\). L'immagine di \(\displaystyle L \) è generata dalle immagini di una base. Perciò si ha che \(\displaystyle Im(L) \) è generato da \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (-1,0,-2) \) e ha dimensione 2.
Con \(\displaystyle N(L) \) immagino che tu intenda quello che io segno con \(\ker L\). Siccome \(\displaystyle L(1,1,1) = L(1,0,-1) \) si ha che \(\displaystyle (0,1,2) = (1,1,1) - (1,0,-1) \in N(L)\). Inoltre \(\displaystyle \dim N(L) = \dim V - \dim Im(L) = 3-2 = 1 \) perciò \(\displaystyle N(L) = \mathbb{R}(0,1,2) \).
La controimmagine di (1,1,1) è generata dai vettori indipendenti \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (1,0,-1) \) (praticamente per ipotesi).
"vict85":
I tre vettori dati \((1,1,1)\), \((1,0,-1)\) e \((1,0,0)\) sono linearmente indipendenti e quindi, essendo \(3\), una base. Siccome ogni applicazione lineare è univocamente determinata dalla immagine di una base l'applicazione esiste ed è ben definita.
Siccome \((0,0,1) = (1,0,0) - (1,0,-1)\) si ha \(L(0,0,1) = L(1,0,0) - L(1,0,-1) = (-1,0,-2) - (1,1,1) = (-2,-1,-3)\). L'immagine di \(\displaystyle L \) è generata dalle immagini di una base. Perciò si ha che \(\displaystyle Im(L) \) è generato da \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (-1,0,-2) \) e ha dimensione 2.
Con \(\displaystyle N(L) \) immagino che tu intenda quello che io segno con \(\ker L\). Siccome \(\displaystyle L(1,1,1) = L(1,0,-1) \) si ha che \(\displaystyle (0,1,2) = (1,1,1) - (1,0,-1) \in N(L)\). Inoltre \(\displaystyle \dim N(L) = \dim V - \dim Im(L) = 3-2 = 1 \) perciò \(\displaystyle N(L) = \mathbb{R}(0,1,2) \).
La controimmagine di (1,1,1) è generata dai vettori indipendenti \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (1,0,-1) \) (praticamente per ipotesi).
Grazie per la risposta, ma potresti esplicitarmi meglio cosa intendi per "La controimmagine di (1,1,1) è generata dai vettori indipendenti \(\displaystyle (1,1,1) \) e \(\displaystyle (1,0,-1) \) (praticamente per ipotesi)."?
Grazie
In effetti ho anche sbagliato: la controimmagine di ogni elemento ha la forma \(\mathbf{v} + N(L)\) per qualche \(\mathbf{v}\). Sai per ipotesi che \((1,0,-1)\) è nella tua controimmagine quindi ponendo \(\mathbf{v} = (1,0,-1)\) ogni elemento della controimmagine ha la forma \((1,0,-1) + \lambda(0,1,2) = (1,\lambda, \lambda-1)\) per qualche \(\lambda\). Ma potevo anche usare \((1,1,1)\) al posto di \((1,0,-1)\). La controimmagine non è un sottospazio, ero proprio distratto...
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