Piano per un punto perpendicolare ad altri due piani

[code47]

Sono qui per questo problema apparentemente sciocco.
Devo trovare un piano passante per un punto P (-1,3,4) e perpendicolare ai piani 3x-y+2z-8=0 e x+4y-3z+19=0

Vorrei sapere se il procedimento è giusto visto che il risultato dopo vari tentativi ancora non esce:

Eq. di un piano per un punto

a(x+1)+b(y-3)+c(z-4)+d=0

A questo punto per verificare la perpendicolarità con un sistema a 3 ho:

a+b+c=0
3a-b+2c=0
a+4b-3c=0

E da qui non riesco ad uscire perchè il risultato finale mi da sempre a=0,b=0,c=0.
E' sbagliato come procedimento?
Ho provato anche a fare il determinante della matrice:

a  b  c
3  -1 2
1  4  -3

Ma anche qui non ottengo il risultato desiderato.
Qualche consiglio? Grazie

EDIT: Mi correggo, con la matrice viene.
L'impostazione del sistema è sbagliato o sono io che sbaglio i calcoli?

[porzio1]

dove hai trovato quell'equazione di un piano passante per un punto?
mi sembra che non abbia molto senso anche perchè implicitamente implica $d=0$

il passaggio per il punto P si impone scrivendo semplicemente
$-a+3b+4c+d=0$
che unita alle altre 2 equazioni ti dà il piano cercato

[Edex1]

Scusate l'intromissione, ma non era più semplice e veloce scrivere direttamente l'equazione vettoriale del piano considerando i due vettori direttori che devono essere i vettori normali ai due piani?

$[(x_1),(x_2),(x_3)] = [(-1),(3),(4)] + t[(3),(-1),(2)] +s[(1),(4),(-3)]$

Poi da qui si passa alle cartesiane.
E' giusto anche questo procedimento no?

[code47]

"porzio":dove hai trovato quell'equazione di un piano passante per un punto?
mi sembra che non abbia molto senso anche perchè implicitamente implica $d=0$

il passaggio per il punto P si impone scrivendo semplicemente
$-a+3b+4c+d=0$
che unita alle altre 2 equazioni ti dà il piano cercato

Quell'equazione sta in diversi manuali... la formula del piano per un punto

a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)+d=0

Quando impongo il passaggio per p come hai fatto tu e poi lo metto a sistema con 3a-b+2c=0 e a+4b-3c=0 mi escono delle variabili dipendenti da altre, non riesco a determinare il valore di a b c.
Cosa sbaglio?
Es. Mi esce a=-25b, c=-7b, c=(13/11)b

[code47]

Ho risolto ragazzi.
Sbagliavo ad impostare il sistema...
L'ho sviluppato così

Passaggio per il punto:
$a(x+1)+b(y-3)+c(z-4)=0$

Poi considero i vettori normali ai rispettivi piani (3,-1,2) e (1,4,-3) e li metto a sistema
Da qui risolvo il sistema a due equazioni:
$\{(3a-b+2c=0),(a+4b-3c=0):}$

e vado a sostituire i risultati nell'equazione.
Grazie a tutti per i consigli