Esercizio Su autovettori (dubbio sulle matrici associate)

[sili921]

Salve a tutti

Vi chiedo una mano a proposito di questo esercizio:

Trova un endomorfismo che ha Autovalori $ 1 , 2 , 3 $ e rispettivi autovettori $(2;1; 0), (-1; -2;-1) $e $(0;-1; -2) $

La mia idea è: seguendo la definizione di autovalore ed autovettore scrivo le immagini degli autovalori.

$f(v1) = (2,1,0) $
$f(v2) = (-2,-4-2) $
$f(v3) = (0,-3,-6) $

Noto che il determinante di v1,v2,v3 non è nullo. Quindi sono una base di $R^3$.

Scrivo la matrice associata con le immagini ricavate precedentemente: $ M = $ $ ((2,-2,0) , (-1,-4,3) , (0,-2,6)) $



Il mio problema è:
1) quello che ho fatto è corretto, ha senso?
2)Se si, la matrice associata è la matrice associata $M$ è $ M (f, B B) $ con $B=(v1,v2,v3)$ oppure è $ M (f, C B) $ con $C$ base canonica di $R^3$??

Grazie!

[sili921]

Come si fa poi a passare nella matrice associata alla base canonica? dovrebbe essere semplice, ma vado sempre in paranoia su sta roba!

[ciampax]

Scusa ma che hai scritto? Se $v$ è un autovettore di $f$ con autovalore $\lambda$ allora $f(v)=\lambda v$. Per cui se indichi con $v_1=(2,1,0),\ v_2=(1,2,1),\ v_3=(0,1,2)$ e autovalori $1,2,3$ si ha
$$f(v_1)=v_1,\ f(v_2)=2v_2,\ f(v_3)=3v_3$$

[sili921]

Si hai ragione secondo me ho sbagliato a copiare il testo ad ogni modo provo a modificare il post se è possibile, comunque intendo con $v1,2v2,3v3$ che matrice ottengo?

[sili921]

up

[minomic]

Ciao, dalla definizione di autovettori abbiamo che $$A\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}, \quad A\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\-4\\-2\end{bmatrix}, \quad A\begin{bmatrix}0\\-1\\-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\-3\\-6\end{bmatrix}$$ Possiamo quindi dire che $$A^* = \begin{bmatrix}2&-2&0\\1&-4&-3\\0&-2&-6\end{bmatrix}$$ è la matrice cercata ma nelle coordinate sbagliate. Definiamo quindi la matrice $$Q = \left[v_1, v_2, v_3\right] = \begin{bmatrix}2&-1&0\\1&-2&-1\\0&-1&-2\end{bmatrix}$$ Ora la matrice cercata è $$A = A^* \cdot Q^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & 2 & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{7}{2}\end{bmatrix}$$

[sili921]

Grazie