Studiare la normalitá di uno spazio topologico

[paduana]

Ciao a tutti!
Ho un esercizio da fare, ma non sono sicura se ho finito oppure ancora mi mancano situzioni da studiare.
Devo decidere se lo spazio $([-1,1], \tau )$ dove $\tau =\{U \in [-1,1]: 0 \notin Uo (-1,1) \subset U\}$ è normale.
Per definizione, uno spazio è normale se $\forall A, B$ chiuse dove $A\cap B=\emptyset$, $\exists U,V$ aperti dove $U\cap V=\emptyset$ talI che $A\subset U$ e $B\subset V$

Io ho fatto cosí (se $(a,b) \subset U e\ 0 \in (a,b)$)
-$A=X, B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{\pm1\},B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{-1,1\},B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=(a,b),B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{\pm1\}\cup (a,b),B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{-1\}\cup (a,b) \cup\{1\},B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{\pm1\},B=(a,b) $, $U=\{\pm1\},V=(-1,1)$
-$A=\{-1,1\},B=(a,b) $, $U=\{-1,1\},V=(-1,1)$
-$A=\{-1\},B=\{1\} $, $U=\{-1\},V=\{1\}$
-$A=\{-1\},B=(a,b) \cup\{1\}$, $U=\{-1\},V=(-1,1]$
-$A=\{1\},B=(a,b) \cup\{-1\}$, $U=\{1\},V=[-1,1)$

In tutti i casi, si verificano le condizioni, quindi potrei dire che lo spazio é normale?

Grazie mille"

[j18eos]

Sarebbe \(\displaystyle\tau=\{U\subseteq[-1,1]:0\not\in U\,\text{or}\,]-1,1[\subseteq U\}\)? Se sì: chi sarebbe la topologia indotta su \(\displaystyle[-1,0[\cup]0,1]\)? Giusto per svolgere rapidamente l'esercizio...