Dimostrazione uguaglianza tra vettori
Dati due vettori $a,b in R^2 $, volevo dimostrare che se $a^^c=b^^c=>a=b$.
Allora: $a^^c=b^^c=>a_1 c_2-c_1 a_2=b_1 c_2-c_1 b_2=>a_1 c_2-c_1 a_2-b_1 c_2+c_1 b_2=0=>$
$=>c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=0$ (1)
Ora, una possibile soluzione è che ${ ( b_2=a_2 ),( a_1=b_1 ):} => a=b$
Ma se, ad esempio: $a=( (2), (0) )$, $b=( (0), (4) )$, $c=( (-1), (2) )$, $a!=b$ nonostante soddisfi la (1).
Allora: $a^^c=b^^c=>a_1 c_2-c_1 a_2=b_1 c_2-c_1 b_2=>a_1 c_2-c_1 a_2-b_1 c_2+c_1 b_2=0=>$
$=>c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=0$ (1)
Ora, una possibile soluzione è che ${ ( b_2=a_2 ),( a_1=b_1 ):} => a=b$
Ma se, ad esempio: $a=( (2), (0) )$, $b=( (0), (4) )$, $c=( (-1), (2) )$, $a!=b$ nonostante soddisfi la (1).
Risposte
@sleax,
se ho capito bene tu hai \( a,b,c \in \Bbb{R}^2 \), e un'operazione tra due vettori di \( \Bbb{R}^2 \), ovvero \( a \wedge b \), ma con \( \wedge \) ti riferisci al prodotto vettoriale o ad un'altra cosa?
Saluti
"sleax":
Dati due vettori $a,b in R^2 $, volevo dimostrare che se $a^^c=b^^c=>a=b$.
Allora: $a^^c=b^^c=>a_1 c_2-c_1 a_2=b_1 c_2-c_1 b_2=>a_1 c_2-c_1 a_2-b_1 c_2+c_1 b_2=0=>$
$=>c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=0$ (1)
Ora, una possibile soluzione è che ${ ( b_2=a_2 ),( a_1=b_1 ):} => a=b$
Ma se, ad esempio: $a=( (2), (0) )$, $b=( (0), (4) )$, $c=( (-1), (2) )$, $a!=b$ nonostante soddisfi la (1).
se ho capito bene tu hai \( a,b,c \in \Bbb{R}^2 \), e un'operazione tra due vettori di \( \Bbb{R}^2 \), ovvero \( a \wedge b \), ma con \( \wedge \) ti riferisci al prodotto vettoriale o ad un'altra cosa?
Saluti
Scusami, con $^^$ mi riferisco al determinante.
@sleax,
per te, avendo \(a,b\in \Bbb{R}^2 \), ovviamente \( a:=(a_1,a_2) \) e \(b:=(b_1,b_2 )\), con \( a \wedge b \) indichi \( \det\begin{Vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} \) ?? E devi dimostrare \( a \wedge c =b \wedge c \Rightarrow a=b \)?? Se si, ti domando "cosa è il determinante?"
Puoi vedere il determinante in particolare in due modi, o come \(\displaystyle \det(\begin{Vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} ) := \sum_{\sigma \in S_2} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^2 z_{i, \sigma(i)} \) o come un'applicazione bilineare (antisimmetrica) da \( \Bbb{R}^2 \times \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}^1 \)... cosa decidi?
Saluti
"sleax":
Scusami, con $^^$ mi riferisco al determinante.
per te, avendo \(a,b\in \Bbb{R}^2 \), ovviamente \( a:=(a_1,a_2) \) e \(b:=(b_1,b_2 )\), con \( a \wedge b \) indichi \( \det\begin{Vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} \) ?? E devi dimostrare \( a \wedge c =b \wedge c \Rightarrow a=b \)?? Se si, ti domando "cosa è il determinante?"
Puoi vedere il determinante in particolare in due modi, o come \(\displaystyle \det(\begin{Vmatrix}a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} ) := \sum_{\sigma \in S_2} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^2 z_{i, \sigma(i)} \) o come un'applicazione bilineare (antisimmetrica) da \( \Bbb{R}^2 \times \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}^1 \)... cosa decidi?
Saluti
@garnak.olegovitc Grazie innanzitutto per l'interessamento!
Devo dimostrare proprio quello che hai scritto tu. Per la scelta, sceglierei (per semplicità) la seconda
. Però sono curioso sulla prima notazione, puoi spiegarmi per bene cosa significa? Grazie mille!
Devo dimostrare proprio quello che hai scritto tu. Per la scelta, sceglierei (per semplicità) la seconda
. Però sono curioso sulla prima notazione, puoi spiegarmi per bene cosa significa? Grazie mille!
@sleax,
scusami, prima non avevo finito di scrivere ma il pc mi ha dato un problema; veniamo al dunque... nel tuo caso \( \displaystyle \det(\begin{Vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} ) := \sum_{\sigma \in S_2} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^2 z_{i, \sigma(i)} \) è uguale ad \( a_1\cdot b_2 -b_1\cdot a_2 \), ovviamente per usare la definizione di determinante come applicazione bilineare, non è proprio una definizione ma una proprietà, ti occorre conoscere la prima definizione!! Hai fatto bene a scegliere la seconda definizione, come procedi?
Saluti
p.s.=Per saperne di più sulla prima definizione (CLIC)
"sleax":
@garnak.olegovitc Grazie innanzitutto per l'interessamento!
Devo dimostrare proprio quello che hai scritto tu. Per la scelta, sceglierei (per semplicità) la seconda
scusami, prima non avevo finito di scrivere ma il pc mi ha dato un problema; veniamo al dunque... nel tuo caso \( \displaystyle \det(\begin{Vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{Vmatrix} ) := \sum_{\sigma \in S_2} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^2 z_{i, \sigma(i)} \) è uguale ad \( a_1\cdot b_2 -b_1\cdot a_2 \), ovviamente per usare la definizione di determinante come applicazione bilineare, non è proprio una definizione ma una proprietà, ti occorre conoscere la prima definizione!! Hai fatto bene a scegliere la seconda definizione, come procedi?
Saluti
p.s.=Per saperne di più sulla prima definizione (CLIC)
Non saprei...io farei come ho scritto nel primo post,ma ho trovato un controesempio.
@sleax,
ti riferisci a questa:
[/nota]
mmmm
prima di procedere sai cosa è un'applicazione bilineare (o: \(2\)-lineare di \( \Bbb{R}^2\) in \( \Bbb{R}^1\))?
Saluti
edit: ti faccio notare, per il tuo modo di vedere le cose, che $$ c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=c_1(b_2-a_2)-c_2(b_1-a_1)=\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix} )=c \wedge b-a$$ tu ottieni per ipotesi la condizione che \( \det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \) ti domando cosa implica (in generale)? Implica \( a=b \) ? Forza che ci sei ormai.. è tanto semplice!! 
"sleax":
Non saprei...io farei come ho scritto nel primo post,ma ho trovato un controesempio.
ti riferisci a questa:
"sleax":[nota]dovrebbe dirti già qualcosa aver trovato un controesempio
Dati due vettori $ a,b in R^2 $, volevo dimostrare che se $ a^^c=b^^c=>a=b $.
Allora: $ a^^c=b^^c=>a_1 c_2-c_1 a_2=b_1 c_2-c_1 b_2=>a_1 c_2-c_1 a_2-b_1 c_2+c_1 b_2=0=> $
$ =>c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=0 $ (1)
Ora, una possibile soluzione è che $ { ( b_2=a_2 ),( a_1=b_1 ):} => a=b $
Ma se, ad esempio: $ a=( (2), (0) ) $, $ b=( (0), (4) ) $, $ c=( (-1), (2) ) $, $ a!=b $ nonostante soddisfi la (1).
[/nota]mmmm
prima di procedere sai cosa è un'applicazione bilineare (o: \(2\)-lineare di \( \Bbb{R}^2\) in \( \Bbb{R}^1\))?Saluti
edit: ti faccio notare, per il tuo modo di vedere le cose, che $$ c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=c_1(b_2-a_2)-c_2(b_1-a_1)=\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix} )=c \wedge b-a$$ tu ottieni per ipotesi la condizione che \( \det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \) ti domando cosa implica (in generale)?
Implica \( a=b \) ? Forza che ci sei ormai.. è tanto semplice!!
Quando almeno uno dei due vettori é nullo, e visto che se $c=0$ non ha senso, ho ottenuto $a=b$. Grazie.
Ora dimmi come lo avresti dimostrato tu, per curiosità
Edit:peró potrebbe anche essere nullo il determinante nonostante i due vettori siano entrambi non nulli.
Grazie.Ora dimmi come lo avresti dimostrato tu, per curiosità
Edit:peró potrebbe anche essere nullo il determinante nonostante i due vettori siano entrambi non nulli.
@sleax,
1°- \(c=0 \) lo avevi per ipotesi?
2°- Hai ragione nel tuo "Edit", infatti il determinante di una matrice è nullo se e solo se le colonne di questa sono legate sul campo[nota]cioè linearmente dipendenti sul campo[/nota]
i vettori sono linearmente dipendenti sul campo se non sono liberi sul campo[nota]dove una delle proprietà dei vettori liberi sul campo è
\exists i \in \{2\}(v_i \in \mathscr{L}(v_1))\\ \text{ oppure } \\
\exists i \in \{1,2\}(v_i = 0_V)
$$ la cosa però ci porta, anche, alla seguente catena di co-implicazioni:
$$\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \Leftrightarrow ((c_1,c_2),(b_1-a_1,b_2-a_2))\text{ sono liberi su } \Bbb{R} \Leftrightarrow \begin{aligned} & \exists i \in \{2\}(v_i \in \mathscr{L}(v_1))\\ & \text{ oppure } \\
& \exists i \in \{1,2\}(v_i = 0_V) \end{aligned} $$ ed ancora $$\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \begin{aligned} & v_2 \in \mathscr{L}(v_1)\\ & \text{ oppure } \\
& v_1=0 \vee v_2 = 0 \end{aligned} $$ quindi come puoi vedere non è sempre vera la tua proprietà (e tu con un controesempio lo hai fatto)..
Saluti
"sleax":
Quando almeno uno dei due vettori é nullo, e visto che se $c=0$ non ha senso, ho ottenuto $a=b$.
Ora dimmi come lo avresti dimostrato tu, per curiosità
Edit:peró potrebbe anche essere nullo il determinante nonostante i due vettori siano entrambi non nulli.
1°- \(c=0 \) lo avevi per ipotesi?
2°- Hai ragione nel tuo "Edit", infatti il determinante di una matrice è nullo se e solo se le colonne di questa sono legate sul campo[nota]cioè linearmente dipendenti sul campo[/nota]
i vettori sono linearmente dipendenti sul campo se non sono liberi sul campo[nota]dove una delle proprietà dei vettori liberi sul campo è
siano dati \( V \) uno spazio vettoriale su \( K \), ed \( (v_1,v_2,...,v_n)\) vettori di \(V \), allora $$ (v_1,v_2,...,v_n) \text{ sono liberi su } K \Leftrightarrow \begin{cases}[/nota], quindi nel nostro caso$$
\forall i \in \{2,...,n\}(v_i \notin \mathscr{L}(v_1,v_2,..,v_{i-1}))\\
\forall i \in \{1,2,...,n\}(v_i \neq 0_V
\end{cases}$$
\exists i \in \{2\}(v_i \in \mathscr{L}(v_1))\\ \text{ oppure } \\
\exists i \in \{1,2\}(v_i = 0_V)
$$ la cosa però ci porta, anche, alla seguente catena di co-implicazioni:
$$\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \Leftrightarrow ((c_1,c_2),(b_1-a_1,b_2-a_2))\text{ sono liberi su } \Bbb{R} \Leftrightarrow \begin{aligned} & \exists i \in \{2\}(v_i \in \mathscr{L}(v_1))\\ & \text{ oppure } \\
& \exists i \in \{1,2\}(v_i = 0_V) \end{aligned} $$ ed ancora $$\det(\begin{Vmatrix} c_1 & b_1-a_1\\ c_2 & b_2-a_2 \end{Vmatrix}) =0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \begin{aligned} & v_2 \in \mathscr{L}(v_1)\\ & \text{ oppure } \\
& v_1=0 \vee v_2 = 0 \end{aligned} $$ quindi come puoi vedere non è sempre vera la tua proprietà (e tu con un controesempio lo hai fatto)..
Saluti
@sleax,
come avrei fatto io!? moolto semplicemente, per ipotesi $$ a\wedge c=:\det((a,c))=\det((b,c)):=b \wedge c $$ ma essendo il determinante anche una applicazione \( 2\)-lineare di \( \Bbb{R}^2 \) in \( \Bbb{R}^1 \), allora $$\det((a,c))-\det((b,c))=0_{\Bbb{R}^1} $$ e per una proprietà in generale di un'applicazione \( p\)-lineare di \( E^p \) in \(E \) avremo in particolare che $$\det((a,c))-\det((b,c))=0_{\Bbb{R}^1}=\det((a-b,c)) \Leftrightarrow a-b=0_{\Bbb{R}^2} \vee c=0_{\Bbb{R}^2} $$ come vedi la tua ipotesi non implica sempre \( a=b \), ergo manca di generalità, ammetto che ragionare per controesempio è più interessante, ma personalmente non li amo anche se in questo caso il controesempio è il metodo migliore , ovviamente "\( \forall a,b \in \Bbb{R}^2 (a=b \Rightarrow a\wedge c=b \wedge c)\) è sempre vera"
Saluti
"sleax":
Ora dimmi come lo avresti dimostrato tu, per curiosità
come avrei fatto io!?
moolto semplicemente, per ipotesi $$ a\wedge c=:\det((a,c))=\det((b,c)):=b \wedge c $$ ma essendo il determinante anche una applicazione \( 2\)-lineare di \( \Bbb{R}^2 \) in \( \Bbb{R}^1 \), allora $$\det((a,c))-\det((b,c))=0_{\Bbb{R}^1} $$ e per una proprietà in generale di un'applicazione \( p\)-lineare di \( E^p \) in \(E \) avremo in particolare che $$\det((a,c))-\det((b,c))=0_{\Bbb{R}^1}=\det((a-b,c)) \Leftrightarrow a-b=0_{\Bbb{R}^2} \vee c=0_{\Bbb{R}^2} $$ come vedi la tua ipotesi non implica sempre \( a=b \), ergo manca di generalità, ammetto che ragionare per controesempio è più interessante, ma personalmente non li amo anche se in questo caso il controesempio è il metodo migliore , ovviamente "\( \forall a,b \in \Bbb{R}^2 (a=b \Rightarrow a\wedge c=b \wedge c)\) è sempre vera"Saluti
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