Esercizio Trasformazione lineare
Salve a tutti ho bisogno di un aiuto per questo esercizio .
Sia
\( \ L_k:\Re^3\rightarrow \Re^3\) la trasformazione lineare tale che:
\( \ L_k(\underline{e}_1) \)=\(\underline{e'}_2\)
\( \ L_k(\underline{e}_2) \)=\(\underline{e'}_2-k\underline{e'}_3\)
\( \ L_k(\underline{e}_3) \)=\(\underline{e'}_1-k\underline{e'}_2\)
1)dire per quali valori del parametro k è invertibile e determinare l'inversa
2)Al variare di K appartenente ad R tutte le \( \underline{u} \) appartenenti ad R^3 tale che:
\( \ L_k(\underline{u}) \)=\(k\underline{e'}_2\)
Nella prima parte non dovrei avere problemi si imposta la matrice ordinando le basi in colonne si calcola il determinate che dipenderà da k,quindi si vede per quali valori di kil determinate è diverso da 0.Quindi mi calcolo la matrice inversa a cui corrisponderà la trasformazione lineare.Per il secondo punto brancolo nel buio.
Sia
\( \ L_k:\Re^3\rightarrow \Re^3\) la trasformazione lineare tale che:
\( \ L_k(\underline{e}_1) \)=\(\underline{e'}_2\)
\( \ L_k(\underline{e}_2) \)=\(\underline{e'}_2-k\underline{e'}_3\)
\( \ L_k(\underline{e}_3) \)=\(\underline{e'}_1-k\underline{e'}_2\)
1)dire per quali valori del parametro k è invertibile e determinare l'inversa
2)Al variare di K appartenente ad R tutte le \( \underline{u} \) appartenenti ad R^3 tale che:
\( \ L_k(\underline{u}) \)=\(k\underline{e'}_2\)
Nella prima parte non dovrei avere problemi si imposta la matrice ordinando le basi in colonne si calcola il determinate che dipenderà da k,quindi si vede per quali valori di kil determinate è diverso da 0.Quindi mi calcolo la matrice inversa a cui corrisponderà la trasformazione lineare.Per il secondo punto brancolo nel buio.
Risposte
Tu come risolveresti l'esercizio???
L'ho scritto sopra ora,comunque nella prima parte ordinerei i termini noti delle basi in colonne,quindi calcolo il determinante che dipenderà da K,vedo per quali valori di K il determinate è diverso da zero,quindi calcolo matrice inversa a cui corrisponderà una trasformazione lineare.Per il secondo punto ho delle difficoltà
La matrice associata alla trasformazione rispetto alla base canonica è
$A=((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))$
il cui determinante vale $det(A)=-k$ che è non nullo per $k\ne0$. Ed è quindi eventualmente possibile calcolarsi l'inversa.
Per il secondo punto vuoi semplicemente calcolare le controimmagini $f^{-1}(k\vec{e}'_{2})$ al variare in $RR$ di $k$, ovvero devi semplicemente risolvere il sistema
$((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))((x),(y),(z))=((0),(k),(0))$
cioè devi verificare per quali valori di $k$ è compatibile ed eventuali soluzioni.
Ovviamente per $k\ne0$ hai anche l'inversa quindi...
$A=((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))$
il cui determinante vale $det(A)=-k$ che è non nullo per $k\ne0$. Ed è quindi eventualmente possibile calcolarsi l'inversa.
Per il secondo punto vuoi semplicemente calcolare le controimmagini $f^{-1}(k\vec{e}'_{2})$ al variare in $RR$ di $k$, ovvero devi semplicemente risolvere il sistema
$((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))((x),(y),(z))=((0),(k),(0))$
cioè devi verificare per quali valori di $k$ è compatibile ed eventuali soluzioni.
Ovviamente per $k\ne0$ hai anche l'inversa quindi...
Grazie mille!!!
Giusto per avere una conferma Cuspide 83,una volta risolto il sistema e trovato le X,Y e Z le sostituisco nella colonna delle incognite,questa moltiplicata per la matrice di partenza mi darà la matrice associata.Ogni colonna corrisponderà ad un vettore ,da cui la somma dei tre vettori mi darà proprio la controimmagine.
mmm non proprio o forse ti sei spiegato male, devi rivedere un pò la terminologia:
Risolvendo il sistema trovi l'insieme dei vettori che indico con $\vec{u}_{i}$ che trasformati dall'applicazione diventano multipli di $\vec{e}'_{2}$ ovvero tutti quei vettori $\vec{u}_{i}$ il cui "risultato" è $f(\vec{u}_{i})k\vec{e}'_{2}$.
Dal punto di vista matriciale significa che $A\vec{u}_{i}=k\vec{e}'_{2}$.
Risolvendo il sistema trovi l'insieme dei vettori che indico con $\vec{u}_{i}$ che trasformati dall'applicazione diventano multipli di $\vec{e}'_{2}$ ovvero tutti quei vettori $\vec{u}_{i}$ il cui "risultato" è $f(\vec{u}_{i})k\vec{e}'_{2}$.
Dal punto di vista matriciale significa che $A\vec{u}_{i}=k\vec{e}'_{2}$.
Ciao allora risolvendo il sistema trovo che X=K Z=0 e Y=0
da cui risulta che
$((0,0,1),(1,1,-K),(0,-K,0))$ X $((K),(0),(0))$= $((0),(K),(0))$
Quindi
$((0,0,0),(K,0,0),(0,0,0))$ = $((0),(K),(0))$
Scusami con la terminologia ci faccio un pò a ****tti
da cui risulta che
$((0,0,1),(1,1,-K),(0,-K,0))$ X $((K),(0),(0))$= $((0),(K),(0))$
Quindi
$((0,0,0),(K,0,0),(0,0,0))$ = $((0),(K),(0))$
Scusami con la terminologia ci faccio un pò a ****tti
La notazione che hai utilizzato è scorretta in quanto stai dicendo che una matrice $3\times 3$ è uguale a una matrice $3\times 1$.
Però ho capito cosa intendevi dire. Hai trovato la soluzione ovvero il vettore $(k,0,0)$; questo significa che "come prova del 9" se lo moltiplichi attraverso il prodotto righe per colonne per la matrice $A$ devi ottenere il vettore $(0,k,0)$
$((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))((k),(0),(0))=((0+0+0),(k+0+0),(0+0+0))=((0),(k),(0))$
o che è lo stesso (adesso usiamo la notazione che volevi usare tu) significa che la combinazione lineare dei vettori colonna della matrice $A$ con coefficienti $x=k, y=z=0$ deve essere uguale al vettore $(0,k,0)$
$k((0),(1),(0))+0((0),(1),(-k))+0((1),(-k),(0))=((0+0+0),(k+0+0),(0+0+0))=((0),(k),(0))$
Però ho capito cosa intendevi dire. Hai trovato la soluzione ovvero il vettore $(k,0,0)$; questo significa che "come prova del 9" se lo moltiplichi attraverso il prodotto righe per colonne per la matrice $A$ devi ottenere il vettore $(0,k,0)$
$((0,0,1),(1,1,-k),(0,-k,0))((k),(0),(0))=((0+0+0),(k+0+0),(0+0+0))=((0),(k),(0))$
o che è lo stesso (adesso usiamo la notazione che volevi usare tu) significa che la combinazione lineare dei vettori colonna della matrice $A$ con coefficienti $x=k, y=z=0$ deve essere uguale al vettore $(0,k,0)$
$k((0),(1),(0))+0((0),(1),(-k))+0((1),(-k),(0))=((0+0+0),(k+0+0),(0+0+0))=((0),(k),(0))$
Grazie mille ancora!
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