Rango matrice
Ho una matrice dipendente da $h\inR$ definita come $A=((h,0,1),(1,h,0),(0,1,h))$ e devo calcolargli il rango.
Calcolo il determinante della matrice e vedo che $|A|=h^3+1$ che si annulla per ogni h tale che $h^3=-$ quindi il rango è compreso tra 0 e 3 (?)
con kroneker cerco un minore di ordine 2 con determinante non nullo.
Prendo quindi
$\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi orlo: $\Delta=|(h,1,0),(1,h,0),(0,1,h)|=h(h^2-1)$ quindi $h=0,h^2=1 =>h=+-1$
Come procedo ora?
Calcolo il determinante della matrice e vedo che $|A|=h^3+1$ che si annulla per ogni h tale che $h^3=-$ quindi il rango è compreso tra 0 e 3 (?)
con kroneker cerco un minore di ordine 2 con determinante non nullo.
Prendo quindi
$\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi orlo: $\Delta=|(h,1,0),(1,h,0),(0,1,h)|=h(h^2-1)$ quindi $h=0,h^2=1 =>h=+-1$
Come procedo ora?
Risposte
Se \(\det A(h)\neq 0\), chi è \(\operatorname{rank} A(h)\)?
3
Apppunto.
Quindi, dato che \(\det A(h)\neq 0\) se e solo se \(h\neq -1\), hai pure \(\operatorname{rank} A(h)=3\) se e solo se \(h\neq -1\).
Ti rimane da stabilire cosa succede per \(h=-1\), e ciò si può fare calcolando esplicitamente il rango della matrice \(A(-1)\) (ad esempio, riducendo a scalini, oppure usando il teorema degli orlati).
Quindi, dato che \(\det A(h)\neq 0\) se e solo se \(h\neq -1\), hai pure \(\operatorname{rank} A(h)=3\) se e solo se \(h\neq -1\).
Ti rimane da stabilire cosa succede per \(h=-1\), e ciò si può fare calcolando esplicitamente il rango della matrice \(A(-1)\) (ad esempio, riducendo a scalini, oppure usando il teorema degli orlati).
@Shika93,
alla tua domanda:
ti rispondo di si, può dimostrare che data una matrice \( A \in \mathfrak{M}_{(m,n)}(K)\)[nota]siano dati \(m,n \in \Bbb{N} \), allora \(\mathfrak{M}_{(m,n)}(K)\) è l'insieme della matrici di ordine \( m \times n \) ad elementi in \( K \)[/nota] allora $$0 \leq \mathbf{rnk}(A) \leq \min\{m,n\} $$ ovviamente \( \mathbf{rnk}(A) \in \Bbb{N} \), ed anzi $$\mathbf{rnk}(A)=0 \Leftrightarrow A=0_{ \mathfrak{M}_{(m,n)}(K)} $$ e proprio queste considerazioni[nota]se ti va, e lo spero, vorrei che le dimostri
[/nota] ti permettono di fare lo studio di \(\mathbf{rnk}(A)\)...
Saluti
"Shika93":
Ho una matrice dipendente da $h\inR$ definita come $A=((h,0,1),(1,h,0),(0,1,h))$ e devo calcolargli il rango.
Calcolo il determinante della matrice e vedo che $|A|=h^3+1$ che si annulla per ogni h tale che $h^3=-$ quindi il rango è compreso tra 0 e 3 (?)
con kroneker cerco un minore di ordine 2 con determinante non nullo.
Prendo quindi
$\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi orlo: $\Delta=|(h,1,0),(1,h,0),(0,1,h)|=h(h^2-1)$ quindi $h=0,h^2=1 =>h=+-1$
Come procedo ora?
alla tua domanda:
"Shika93":
quindi il rango è compreso tra 0 e 3 (?)
ti rispondo di si, può dimostrare che data una matrice \( A \in \mathfrak{M}_{(m,n)}(K)\)[nota]siano dati \(m,n \in \Bbb{N} \), allora \(\mathfrak{M}_{(m,n)}(K)\) è l'insieme della matrici di ordine \( m \times n \) ad elementi in \( K \)[/nota] allora $$0 \leq \mathbf{rnk}(A) \leq \min\{m,n\} $$ ovviamente \( \mathbf{rnk}(A) \in \Bbb{N} \), ed anzi $$\mathbf{rnk}(A)=0 \Leftrightarrow A=0_{ \mathfrak{M}_{(m,n)}(K)} $$ e proprio queste considerazioni[nota]se ti va, e lo spero, vorrei che le dimostri
[/nota] ti permettono di fare lo studio di \(\mathbf{rnk}(A)\)...Saluti
"gugo82":
Ti rimane da stabilire cosa succede per \(h=-1\), e ciò si può fare calcolando esplicitamente il rango della matrice \(A(-1)\) (ad esempio, riducendo a scalini, oppure usando il teorema degli orlati).
Quindi butto dentro h=-1 e (normalmente uso il teorema degli orlati anche se più lungo) calcolo i determinanti e se sono nulli dovrei avere rango 2, giusto?
"garnak.olegovitc":
\( \mathbf{rnk}(A) \in \Bbb{N} \),$$\mathbf{rnk}(A)=0 \Leftrightarrow A=0_{ \mathfrak{M}_{(m,n)}(K)} $$
Non l'abbiamo fatta la dimostrazione in classe perchè è una soluzione "banale" (quanto odio sto termine...tutto banale secondo loro...) però ci posso provare.
$rnk(A)=0 =>span{A^1,A^2,...,A^n}={O_k}$ quindi la matrice A è la matrice nulla di k righe e n colonne.
quindi $0<=rnk(A)<=min{k,n}$
Il rango è definito come il massimo numero dei vettori riga linearmente indipendenti oppure dei vettori colonna.
Siccome la matrice A ha tutti gli elementi $0$, vedo che tutti i vettori riga o colonna sono linearmente dipendenti tra loro. Quindi sono chiusi rispetto alla somma e chiusi rispetto il prodotto per uno scalare.
Quindi rango di $A =3 $ se $h ne -1 $
Se $h=-1 $ ottieni $A(-1) =((-1,0,1),(1,-1,0),(0,1,-1)) $.
Che rango ha la matrice ? Basta notare che la sottomatrice quadrata formata dalle prime due righe e dalle due prima colonne , cioè $((-1,0),(1,-1)) $ ha determinante pari a $1 ne 0 $ per concludere che ha rango pari a 2.
Se $h=-1 $ ottieni $A(-1) =((-1,0,1),(1,-1,0),(0,1,-1)) $.
Che rango ha la matrice ? Basta notare che la sottomatrice quadrata formata dalle prime due righe e dalle due prima colonne , cioè $((-1,0),(1,-1)) $ ha determinante pari a $1 ne 0 $ per concludere che ha rango pari a 2.
Perfetto.
Grazie mille!
Grazie mille!
Devo stabilire per quali k non ammette soluzioni il sistema formato dalle matrici
$A=((k,1,k+2),(1,k,2k+1))$ $B=((2),(k+1))$
Per rouche-capelli, ammette soluzione se $rnk(A)=rnk(\barA)$ dove $\barA=(A|B)$
quindi basta che non sia verificato per avere dove non ammette soluzioni.
Ho calcolato il determinante di A con il primo minore di ordine 2 trovando $k=+-1$. Quindi per $k!=+-1$ $rnk(A)=rnk(\barA)=2$
A questo punto ho sostituito i valori di k nella matrice.
con k=1 mi viene $A=((1,1,3),(1,1,3))$ che ha rango 1, giusto? La prima riga è uguale alla seconda. Quindi ha rango diverso dalla matrice completa e già qui dovrei avere il risultato dell'esercizio.
Con k=-1 $A=((-1,1,1),(1,-1,-1))$ che ha rango 2 perchè le prime due colonne della matrice sono linearmente indipendenti.
Quindi per $k=1$ il sistema non ammette soluzioni.
Il problema che nel risultato mi da $k=-1$...Cosa sbaglio?
$A=((k,1,k+2),(1,k,2k+1))$ $B=((2),(k+1))$
Per rouche-capelli, ammette soluzione se $rnk(A)=rnk(\barA)$ dove $\barA=(A|B)$
quindi basta che non sia verificato per avere dove non ammette soluzioni.
Ho calcolato il determinante di A con il primo minore di ordine 2 trovando $k=+-1$. Quindi per $k!=+-1$ $rnk(A)=rnk(\barA)=2$
A questo punto ho sostituito i valori di k nella matrice.
con k=1 mi viene $A=((1,1,3),(1,1,3))$ che ha rango 1, giusto? La prima riga è uguale alla seconda. Quindi ha rango diverso dalla matrice completa e già qui dovrei avere il risultato dell'esercizio.
Con k=-1 $A=((-1,1,1),(1,-1,-1))$ che ha rango 2 perchè le prime due colonne della matrice sono linearmente indipendenti.
Quindi per $k=1$ il sistema non ammette soluzioni.
Il problema che nel risultato mi da $k=-1$...Cosa sbaglio?
Attenzione per $k=-1 $ la matrice A non ha rango 2 ma 1
Hai ragione perchè la prima riga è l'opposto della seconda.
Quindi con k=1 la matrice completa ha rango 1 pure lei perchè ha le righe uguali, mentre con k=-1 la completa ha rango 2 perchè ha le righe LI. Quindi il risultato del libro ora torna.
Grazie mille!
Quindi con k=1 la matrice completa ha rango 1 pure lei perchè ha le righe uguali, mentre con k=-1 la completa ha rango 2 perchè ha le righe LI. Quindi il risultato del libro ora torna.
Grazie mille!
@Shika
Quando consideri la matrice $A =((k,1,k+2),(1,k,2k+1))$ e ne vuoi determinare il rango in funzione dei valori di $k $ ti limiti a calcolare il determinante della sottomatrice 2x2 data da $((k,1),(1,k))$ che vale $k^2-1$ che si annulla per $k=+-1$ il che è corretto e poi concludi che se $k ne +-1 $ allora $r(A) =2 $.In questo caso è vero ma dovresti vedere anche le altre sottomatrici come si comportano $((1,k+2),(k,k+2))$ ; il suo det è $1-k^2 $ che si annulla anche lui per $k=+-1$.
Pure la sottomatrice $((k,k+2),(1,2k+1)) $ ha det che si annulla per $k=+-1$.
Ma in generale questo non succede.
Se, ad esempio le 2 sottomatrici che ho indicato io si annullassero per valori di $k ne +-1 $ ad es. la prima per $k= 3 , 4 $ e la seconda per $k= -10,7 $ allora la matrice A avrebbe rango 2 SEMPRE per qualunque valore di $k $.
OK ? IMPORTANTE
Quando consideri la matrice $A =((k,1,k+2),(1,k,2k+1))$ e ne vuoi determinare il rango in funzione dei valori di $k $ ti limiti a calcolare il determinante della sottomatrice 2x2 data da $((k,1),(1,k))$ che vale $k^2-1$ che si annulla per $k=+-1$ il che è corretto e poi concludi che se $k ne +-1 $ allora $r(A) =2 $.In questo caso è vero ma dovresti vedere anche le altre sottomatrici come si comportano $((1,k+2),(k,k+2))$ ; il suo det è $1-k^2 $ che si annulla anche lui per $k=+-1$.
Pure la sottomatrice $((k,k+2),(1,2k+1)) $ ha det che si annulla per $k=+-1$.
Ma in generale questo non succede.
Se, ad esempio le 2 sottomatrici che ho indicato io si annullassero per valori di $k ne +-1 $ ad es. la prima per $k= 3 , 4 $ e la seconda per $k= -10,7 $ allora la matrice A avrebbe rango 2 SEMPRE per qualunque valore di $k $.
OK ? IMPORTANTE
Si, questo lo facevo già
ah hai fatto bene a dirmelo perchè io mi basavo solo sul primo determinante e basta.
Voglio proporre un altro esercizio per vedere se procedo come dovrei.
Ho il sistema
$\{(x+hy+z+(h^2-1)t=h+1),(y+z+t=0),(x+hy+z=0):}$
a) determinare per quali $h$ il sistema ammette soluzioni.
Ok, come sempre, per rouchè-capelli, ammette soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango della completa.
$A=((1,h,1,h^2-1),(0,1,1,1),(1,h,1,0))$ $B=(h+1),(0),(0))$
Guardo il primo minore 2x2 di A: $\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi se $h!=1, r(A)=2$
(In realtà dopo di questo ho calcolato altri due determinanti. Quello formato dalle prime tre colonne [che viene 0] e quello formato dalle ultime tre colonne [che mi viene $h=+-1$])
Ora prendo la completa e calcolo il determinante col minore 2x2 delle ultime due colonne
$\delta=|(h^2-1,h+1),(1,0)|$ e vedo che il rango è uguale ad A
Quindi ammette soluzioni per $h!=1$
b)Per quali h, il luogo delle soluzioni ha dimensione 2?
$A(1)=((1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$ la prima e l'ultima riga sono uguali, quindi ha rango 1
$\barA(1)=((1,1,1,0,2),(0,1,1,1,0),(1,1,1,0,0))$ tutte le righe sono indipendenti, quindi ha rango 3, pertanto scarto h=1
provo con h=-1(che era il risultato del determinante del minore della matrice completa)
$A(-1)=((1,-1,1,0),(0,1,1,1),(1,-1,1,0))$ la prima e la terza riga sono uguali, quindi ha rango 1
$\barA(-1)=((1,-1,1,0,0),(0,1,1,1,0),(1,-1,1,0,0))$ tutte le colonne sono dipendenti dall'ultima, quindi ha pure questa rango 1
pertanto il luogo delle soluzioni ha dimensione 2 per $h=-1$
terzo punto: risolvere il sistema per h=2. Non mi torna ma mi sarò incartato da qualche parte sui conti. Più tardi lo rifaccio.
P.S: scusa ho aggiungo un altro esercizio pensando che avessimo finito con quello di prima. Non ho visto la modifica al tuo post ^^"
"Camillo":
Ma in generale questo non succede.
ah hai fatto bene a dirmelo perchè io mi basavo solo sul primo determinante e basta.
Voglio proporre un altro esercizio per vedere se procedo come dovrei.
Ho il sistema
$\{(x+hy+z+(h^2-1)t=h+1),(y+z+t=0),(x+hy+z=0):}$
a) determinare per quali $h$ il sistema ammette soluzioni.
Ok, come sempre, per rouchè-capelli, ammette soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango della completa.
$A=((1,h,1,h^2-1),(0,1,1,1),(1,h,1,0))$ $B=(h+1),(0),(0))$
Guardo il primo minore 2x2 di A: $\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi se $h!=1, r(A)=2$
(In realtà dopo di questo ho calcolato altri due determinanti. Quello formato dalle prime tre colonne [che viene 0] e quello formato dalle ultime tre colonne [che mi viene $h=+-1$])
Ora prendo la completa e calcolo il determinante col minore 2x2 delle ultime due colonne
$\delta=|(h^2-1,h+1),(1,0)|$ e vedo che il rango è uguale ad A
Quindi ammette soluzioni per $h!=1$
b)Per quali h, il luogo delle soluzioni ha dimensione 2?
$A(1)=((1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,1,1,0))$ la prima e l'ultima riga sono uguali, quindi ha rango 1
$\barA(1)=((1,1,1,0,2),(0,1,1,1,0),(1,1,1,0,0))$ tutte le righe sono indipendenti, quindi ha rango 3, pertanto scarto h=1
provo con h=-1(che era il risultato del determinante del minore della matrice completa)
$A(-1)=((1,-1,1,0),(0,1,1,1),(1,-1,1,0))$ la prima e la terza riga sono uguali, quindi ha rango 1
$\barA(-1)=((1,-1,1,0,0),(0,1,1,1,0),(1,-1,1,0,0))$ tutte le colonne sono dipendenti dall'ultima, quindi ha pure questa rango 1
pertanto il luogo delle soluzioni ha dimensione 2 per $h=-1$
terzo punto: risolvere il sistema per h=2. Non mi torna ma mi sarò incartato da qualche parte sui conti. Più tardi lo rifaccio.
P.S: scusa ho aggiungo un altro esercizio pensando che avessimo finito con quello di prima. Non ho visto la modifica al tuo post ^^"
Le risposte ai quesiti a, b sono corrette ( non ho guardato lo svolgimento)
Per il punto c ottengo questo vettore soluzione : $(x,1-x,x-2,1)$.
Per il punto c ottengo questo vettore soluzione : $(x,1-x,x-2,1)$.
Se ho un'applicazione $L:\RR^2->\RR^3$ per trovare la dimensione del ker devo usare la dimensione di $\RR^2$ o quella di $\RR^3$?
Ho un lapsus. Non mi ricordo l'ordine
Ho un lapsus. Non mi ricordo l'ordine
@Shika93,
se hai \( \mathfrak{f} \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \), allora \( \dim_K(E)=\dim_K(\ker(\mathfrak{f}))+\dim_K(\operatorname{im}(\mathfrak{f}))\)[nota]Teorema del rango[/nota], spero ti riferivi a questo! Ricordati inoltre che \(E \supseteq \ker(\mathfrak{f}):=\mathfrak{f}^{-1}(\{0_F\}) \)
Saluti
"Shika93":
Se ho un'applicazione $L:\RR^2->\RR^3$ per trovare la dimensione del ker devo usare la dimensione di $\RR^2$ o quella di $\RR^3$?
Ho un lapsus. Non mi ricordo l'ordine
se hai \( \mathfrak{f} \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \), allora \( \dim_K(E)=\dim_K(\ker(\mathfrak{f}))+\dim_K(\operatorname{im}(\mathfrak{f}))\)[nota]Teorema del rango[/nota], spero ti riferivi a questo! Ricordati inoltre che \(E \supseteq \ker(\mathfrak{f}):=\mathfrak{f}^{-1}(\{0_F\}) \)
Saluti
Si, questo.
Quindi devo fare $dim\RR^2=dim(KerL)+dim(ImL)$
Grazie mille!
Quindi devo fare $dim\RR^2=dim(KerL)+dim(ImL)$
Grazie mille!
@Shika93,
esatto!
Saluti
"Shika93":
Si, questo.
Quindi devo fare $dim\RR^2=dim(KerL)+dim(ImL)$
Grazie mille!
esatto!
Saluti
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