Teorema di Rouché-Capelli

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti. Mi vergogno a dirlo ma è da questo pomeriggio che tento di capire la dimostrazione di tale teorema ma non ci sono riuscito e sta subentrando un po di rabbia e frustrazione (che di certo non aiutano...). Ho provato a dimostrarlo utilizzando diversi libri e dispense ma niente. Il libro del corso è il "Matematica" di Pagani-Bramanti-Salsa (quello "tutto in uno" per intenderci).
Sono riuscito a capire fino al punto in cui dice che il sistema è solubile se e solo se b è combinazione lineare delle colonne di A. Poi aggiunge alla stessa frase ", ossia, ricordando che dim Im(L) = rango di A, se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango di A".
Non ho capito questa ultima frase.
Sugli altri libri spesso non capisco niente perché usano gli span e il mio libro non gli ha introdotti o almeno non li usa.

Mi servirebbe una leggera spinta. Grazie

[Sk_Anonymous]

Potrebbe funzionare una cosa del genere?

Noi vogliamo che b sia combinazione lineare delle colonne di A. Ovvero, equivalentemente, vogliamo dimostrare che aggiungendo b alla matrice A, il rango di questa non cambia.

Affinché questo accada, il numero di colonne linearmente indipendenti in A deve essere uguale al numero di colonne linearmente indipendenti in (A|b). Ovvero il rango di A deve essere uguale al rango di A|b.

[Sk_Anonymous]

Ok forse ho capito.

Noi vogliamo dimostrare che il sistema ammette almeno una soluzione se e solo se il rango della matrice A è uguale al rango della matrice A|b ottenuta aggiungendo il vettore colonna dei termini noti alla prima, che è quella dei coefficienti del sistema.
Tuttavia, sappiamo che la matrice completa ha lo stesso rango di quella "ridotta" se e solo se la colonna aggiunta è combinazione lineare delle colonne componenti A (aumenterebbe il rango solo se fosse linearmente indipendente). Ma noi sappiamo che b è proprio una combinazione lineare delle colonne di A (basta riscrivere la digitar Ax=b...). Quindi il teorema è dimostrato!