Distanza tra due piani paralleli
Ho il piano $\pi:x+2y-z=1$ e il punto $A=(1,2,-1)$
Mi viene chiesto di trovare l'equazione cartesiana del piano parallelo $\sigma$ passante per A e la distanza.
Io il piano parallelo l'ho trovato così:
parallelo, quindi stessa direzione, quindi scrivo il versore $\hatn=\hati+2\hatj+\hatk=>\sigma:x+2y-z=d$
Ora impongo il passaggio per A quindi $d=1+4+1=6$ di conseguenza $\sigma:x+2y-z=6$
A questo punto per la distanza, io trovo il punto sul piano $\pi$ e lo impongo in $\sigma$
$\{(x=1+t),(y=2+2t),(z=-1-t):} => {(t=x-1),(y=2x),(z=-x):}$
${(y=2x),(z=-x),(x+2y-z=6):} => x+4x+x=6 =>{(x=1),(y=2),(z=-1):}$
Ho fatto qualche errore?? Perchè così la distanza è 0...
Mi viene chiesto di trovare l'equazione cartesiana del piano parallelo $\sigma$ passante per A e la distanza.
Io il piano parallelo l'ho trovato così:
parallelo, quindi stessa direzione, quindi scrivo il versore $\hatn=\hati+2\hatj+\hatk=>\sigma:x+2y-z=d$
Ora impongo il passaggio per A quindi $d=1+4+1=6$ di conseguenza $\sigma:x+2y-z=6$
A questo punto per la distanza, io trovo il punto sul piano $\pi$ e lo impongo in $\sigma$
$\{(x=1+t),(y=2+2t),(z=-1-t):} => {(t=x-1),(y=2x),(z=-x):}$
${(y=2x),(z=-x),(x+2y-z=6):} => x+4x+x=6 =>{(x=1),(y=2),(z=-1):}$
Ho fatto qualche errore?? Perchè così la distanza è 0...
Risposte
io trovo il punto sul piano $\pi$ e lo impongo in $\sigma$
Se sono paralleli e hanno diverso termine noto vuol dire che non sono sovrapposti, come può essere che un punto appartenga ad entrambi?
Scegli due punti a piacere sui due piani e costruisci il vettore che li congiunge, proiettalo su un piano ed infine calcola il modulo della differenza tra il vettore e la sua proiezione.
Se ti piacciono poi le formule belle e pronte:
\(\displaystyle d\left( \sigma ,\; \pi \right)=\frac{\left| ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \)
Dove \(\displaystyle x_0, y_0, z_0 \) sono le coordinate di un punto a piacere su un piano e \(\displaystyle a,b,c,d \) sono i coefficienti dell'equazione dell'altro piano.
"Ianero":io trovo il punto sul piano $\pi$ e lo impongo in $\sigma$
Se sono paralleli e hanno diverso termine noto vuol dire che non sono sovrapposti, come può essere che un punto appartenga ad entrambi?
Quello che mi chiedevo anche io. Avevo trovato sta cosa qui.
Con punto a piacere si intende qualunque punto nel piano? Posso scegliere A?
Certo che si 
Quindi scegliendo A il vettore nel piano $\pi$ mi verrebbe la distanza $12/sqrt6$ che già non è 0 xD
Grazie mille
Grazie mille
Mi sembra opportuno far notare una cosa.
Siano \(\displaystyle ax + by + cz = d_1 \) e \(\displaystyle \sigma\colon ax + by + cz = d_2 \) due piani paralleli. Allora, come già detto, dato \(\displaystyle P_0 =(x_0,y_0,z_0)\in \sigma \) risulta
\(\displaystyle d(\pi,P_0) =\frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 - d_1\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)
Ma \(\displaystyle P_0\in \sigma \) e quindi \(\displaystyle ax_0 + by_0 + cz_0 = d_2 \). In definitava risulta allora che \(\displaystyle d(\pi,P_0) =\frac{\lvert d_2 - d_1\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \).
Siano \(\displaystyle ax + by + cz = d_1 \) e \(\displaystyle \sigma\colon ax + by + cz = d_2 \) due piani paralleli. Allora, come già detto, dato \(\displaystyle P_0 =(x_0,y_0,z_0)\in \sigma \) risulta
\(\displaystyle d(\pi,P_0) =\frac{\lvert ax_0 + by_0 + cz_0 - d_1\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)
Ma \(\displaystyle P_0\in \sigma \) e quindi \(\displaystyle ax_0 + by_0 + cz_0 = d_2 \). In definitava risulta allora che \(\displaystyle d(\pi,P_0) =\frac{\lvert d_2 - d_1\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \).
Ah questa cosa non l'avevo notata! Più facile da ricordare!
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