Anti immagine di un vettore in uno spazio vettoriale
Salve a tutti,
Questo è il mio primo post e spero che questa sia la sezione adatta.
Ho un dubbio con un esercizio di esempio negli appunti universitari, di cui non capisco bene la risoluzione; riporto il testo dell' esercizio:
Sia \(\displaystyle f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) definita come:
\(\displaystyle f (x, y, z, t) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t) \)
Calcolare la anti immagine del vettore \(\displaystyle (3,2,5,4) \) in \(\displaystyle f \).
Nell' esercizio si calcola il sistema compatible indeterminato:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0 & 6 \\
2 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
t
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5 \\
4
\end{pmatrix}
\)
E successivamente l' esempio termina riportando:
Risolvendo il sistema, le soluzioni sono i vettori:
\(\displaystyle (x, y, z, t) = (1,-1,1,1) + \lambda(-3,-2,3,1)\)
Ho provato risolvendo l' esercizio da me, risolvendo il sistema ottenendo le seguenti combinazioni :
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& x = 2 -z\\
& x = -3t +4\\
\\
& y = -2t + 1\\
& y = 2x +z +t +5\\
\\
& z = -x + 2\\
& z = -2x +y -t +5\\
\\
& t = {-y + 1 \over 2}\\
& t = {-x + 4 \over 3}\\
\end{aligned}
\)
Però non mi è chiaro come arrivare alla soluzione esposta in precedenza..
Sono confuso ed evidentemente non mi ricordo qualcosa..
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire.
Ciao!
Questo è il mio primo post e spero che questa sia la sezione adatta.
Ho un dubbio con un esercizio di esempio negli appunti universitari, di cui non capisco bene la risoluzione; riporto il testo dell' esercizio:
Sia \(\displaystyle f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) definita come:
\(\displaystyle f (x, y, z, t) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t) \)
Calcolare la anti immagine del vettore \(\displaystyle (3,2,5,4) \) in \(\displaystyle f \).
Nell' esercizio si calcola il sistema compatible indeterminato:
\(\displaystyle
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0 & 6 \\
2 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
t
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
3 \\
2 \\
5 \\
4
\end{pmatrix}
\)
E successivamente l' esempio termina riportando:
Risolvendo il sistema, le soluzioni sono i vettori:
\(\displaystyle (x, y, z, t) = (1,-1,1,1) + \lambda(-3,-2,3,1)\)
Ho provato risolvendo l' esercizio da me, risolvendo il sistema ottenendo le seguenti combinazioni :
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& x = 2 -z\\
& x = -3t +4\\
\\
& y = -2t + 1\\
& y = 2x +z +t +5\\
\\
& z = -x + 2\\
& z = -2x +y -t +5\\
\\
& t = {-y + 1 \over 2}\\
& t = {-x + 4 \over 3}\\
\end{aligned}
\)
Però non mi è chiaro come arrivare alla soluzione esposta in precedenza..
Sono confuso ed evidentemente non mi ricordo qualcosa..
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire.
Ciao!
Risposte
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e a algebra lineare[/xdom]
Fissata la base canonica su ambo gli spazi i trasformati dei suoi vettori sono
$f(\vec{e}_{1})=(0,2,1,1)$
$f(\vec{e}_{2})=(3,-1,0,0)$
$f(\vec{e}_{3})=(0,1,1,0)$
$f(\vec{e}_{4})=(6,1,0,-3)$
quindi la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica vale
$A=((0,3,0,6),(2,-1,1,1),(1,0,1,0),(1,0,0,-3))$
Bisogna trovare la controimmagine del vettore $\vec{y}=(3,2,5,4)$ risolvendo il sistema $A\vec{x}=\vec{y}$.
Innanzitutto osserviamo che $r(A)=r(A|vec{v})=4$ quindi il sistema è compatibile ed essendo il rango di $A$ massimo la soluzione è unica.
Dopodichè risolviamo appunto il sistema
$\{(3x_{2}+6x_{4}=3),(2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2),(x_{1}+x_{3}=5),(x_{1}-3x_{4}=4):}$
ottenendo la soluzione $(1,3,4,-1)$.
$f(\vec{e}_{1})=(0,2,1,1)$
$f(\vec{e}_{2})=(3,-1,0,0)$
$f(\vec{e}_{3})=(0,1,1,0)$
$f(\vec{e}_{4})=(6,1,0,-3)$
quindi la matrice associata a $f$ rispetto alla canonica vale
$A=((0,3,0,6),(2,-1,1,1),(1,0,1,0),(1,0,0,-3))$
Bisogna trovare la controimmagine del vettore $\vec{y}=(3,2,5,4)$ risolvendo il sistema $A\vec{x}=\vec{y}$.
Innanzitutto osserviamo che $r(A)=r(A|vec{v})=4$ quindi il sistema è compatibile ed essendo il rango di $A$ massimo la soluzione è unica.
Dopodichè risolviamo appunto il sistema
$\{(3x_{2}+6x_{4}=3),(2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=2),(x_{1}+x_{3}=5),(x_{1}-3x_{4}=4):}$
ottenendo la soluzione $(1,3,4,-1)$.
Ciao Cuspide83,
Innanzitutto grazie per la tua risposta.
Credo che ci sia un errore nella matrice che hai copiato.
\(\displaystyle \mathbf{A}_{4,4} = 3 \) mentre tu a quel elemento della matrice hai assegnato \(\displaystyle -3 \), il che porta a \(\displaystyle \dim(\mathbf{A}) = 4 \) mentre \(\displaystyle \dim(\mathbf{A}) = 3 \).
Credo che mi convenga risolverlo con Gauss.
Innanzitutto grazie per la tua risposta.
Credo che ci sia un errore nella matrice che hai copiato.
\(\displaystyle \mathbf{A}_{4,4} = 3 \) mentre tu a quel elemento della matrice hai assegnato \(\displaystyle -3 \), il che porta a \(\displaystyle \dim(\mathbf{A}) = 4 \) mentre \(\displaystyle \dim(\mathbf{A}) = 3 \).
Credo che mi convenga risolverlo con Gauss.
No, non è un errore perchè il trasformato del vettore dell'ultimo vettore di base è $f((0,0,0,1))=(6,1,0,-3)$.
@simozz,
Per ipotesi hai un \( \mathfrak{f} \in \operatorname{Hom}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4,\Bbb{R}^4)\), con:
\( \mathfrak{f}((x, y, z, t)) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t), \forall (x,y,z,t)\in \Bbb{R}^4 \)
Vuoi sapere la controimmagine del vettore \((3,2,5,4) \) rispetto ad \( \mathfrak{f}\), cioè \( \mathfrak{f}^{-1}\{(3,2,5,4) \}\)
Il procedimento è lo stesso che si adopera nel calcolo del \( \ker(\mathfrak{f} )=\mathfrak{f}^{-1}\{0_{\Bbb{R}^4} \}\)
Ergo ti servono, per definizione, tutti quei vettori \((x,y,z,t) \) tali che \(\mathfrak{f}((x, y, z, t)) =(3,2,5,4) \), per ipotesi hai la generica immagine di un vettore del dominio (non occorre scomodare per tale ragione la base canonica) allora applicando la definizione all'ipotesi abbiamo $$ \mathfrak{f}((x, y, z, t)) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t)=(3,2,5,4)$$ ottenendo così un sistema lineare del tipo $$A:=\left\{\begin{matrix}
3y+6t=3\\
2x-y+z+t=2\\
x+z=5\\
x-3t=4
\end{matrix}\right.$$ la matrice (incompleta) associata ad \( A \) sarà $$\mathcal{M}_A:=\begin{Vmatrix}
0 &3 &0 &6 \\
2 &-1 &1 &1 \\
1 & 0 &1 &0 \\
1 &0 &0 &-3
\end{Vmatrix}$$ palesemente \( \det(\mathcal{M}_A)=18 \neq 0 \) ergo \( \mathbf{rnk}(\mathcal{M}_A)=4\), e inoltre anche la matrice completa associata ad \( A \) avrà rango uguale ad \( \mathcal{M}_A \), ergo per "Rouchè-Capelli" il sistema è compatibile e determinanto... e inoltre, è anche "Crameriano" quindi le soluzioni sono uniche e date dal teorema di Cramer!! In sostanza hai scritto la matrice associata in modo errato, ottenendo un sistema lineare compatibile ma indeterminato
Saluti
P.S.=Le soluzioni sono quelle che ha postato Cuspide
Per ipotesi hai un \( \mathfrak{f} \in \operatorname{Hom}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4,\Bbb{R}^4)\), con:
\( \mathfrak{f}((x, y, z, t)) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t), \forall (x,y,z,t)\in \Bbb{R}^4 \)
Vuoi sapere la controimmagine del vettore \((3,2,5,4) \) rispetto ad \( \mathfrak{f}\), cioè \( \mathfrak{f}^{-1}\{(3,2,5,4) \}\)
Il procedimento è lo stesso che si adopera nel calcolo del \( \ker(\mathfrak{f} )=\mathfrak{f}^{-1}\{0_{\Bbb{R}^4} \}\)
Ergo ti servono, per definizione, tutti quei vettori \((x,y,z,t) \) tali che \(\mathfrak{f}((x, y, z, t)) =(3,2,5,4) \), per ipotesi hai la generica immagine di un vettore del dominio (non occorre scomodare per tale ragione la base canonica) allora applicando la definizione all'ipotesi abbiamo $$ \mathfrak{f}((x, y, z, t)) = (3y + 6t, 2x - y +z + t, x + z, x -3t)=(3,2,5,4)$$ ottenendo così un sistema lineare del tipo $$A:=\left\{\begin{matrix}
3y+6t=3\\
2x-y+z+t=2\\
x+z=5\\
x-3t=4
\end{matrix}\right.$$ la matrice (incompleta) associata ad \( A \) sarà $$\mathcal{M}_A:=\begin{Vmatrix}
0 &3 &0 &6 \\
2 &-1 &1 &1 \\
1 & 0 &1 &0 \\
1 &0 &0 &-3
\end{Vmatrix}$$ palesemente \( \det(\mathcal{M}_A)=18 \neq 0 \) ergo \( \mathbf{rnk}(\mathcal{M}_A)=4\), e inoltre anche la matrice completa associata ad \( A \) avrà rango uguale ad \( \mathcal{M}_A \), ergo per "Rouchè-Capelli" il sistema è compatibile e determinanto... e inoltre, è anche "Crameriano" quindi le soluzioni sono uniche e date dal teorema di Cramer!! In sostanza hai scritto la matrice associata in modo errato, ottenendo un sistema lineare compatibile ma indeterminato
Saluti
P.S.=Le soluzioni sono quelle che ha postato Cuspide
"garnak.olegovitc":
In sostanza hai scritto la matrice associata in modo errato ottenendo un sistema lineare compatibile ma indeterminato
Urca si, più precisamente ho scritto male la definizione:
\(\displaystyle f(x,y,z,t)=(3y+6t,2x−y+z+t,x+z,x+3t) \)
Anche se alla fine ho risolto, chiedo scusa a Cuspide e ringrazio anche garnak.olegovitc per la sua spiegazione molto utile.
A presto.
@simozz,
mi sono perso qualcosa, quindi l'immagine generica è $$\mathfrak{f}((x,y,z,t))=(3y+6t,2x−y+z+t,x+z,x+3t)$$??
Saluti
"simozz":
Urca si, più precisamente ho scritto male la definizione:
\(\displaystyle f(x,y,z,t)=(3y+6t,2x−y+z+t,x+z,x+3t) \)
Anche se alla fine ho risolto, chiedo scusa a Cuspide e ringrazio anche garnak.olegovitc per la sua spiegazione molto utile.
A presto.
mi sono perso qualcosa, quindi l'immagine generica è $$\mathfrak{f}((x,y,z,t))=(3y+6t,2x−y+z+t,x+z,x+3t)$$??
Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo