Sfera tangente al piano in un punto

[Sk_Anonymous]

Devo scrivere l'equazione della sfera tangente al piano $\Pi: x+y+z-1=0$ nel punto $P_0(2,1,-2)$ avente raggio uguale a $r=3$.
Io ho pensato di fare così:
Detto $C(x_c,y_c,z_c)$ il centro della sfera l'equazione della sfera passante per $P_0$ e di raggio $r$ è:
$(x_0-x_c)^2+(y_0-y_c)^2+(z_0-z_c)^2=r^2=>(2-x_c)^2+(1-y_c)^2+(-2-z_c)^2=9$.
Poi devo imporre che la distanza $d(\Pi,C)=3$, ovvero $|x_c+y_c+z_c-1|/sqrt(3)=3$
E metto a sistema le due equazioni: ${ ( (2-x_c)^2+(1-x_c)^2+(-2-z_c)^2=9 ),( |x_c+y_c+z_c-1|/sqrt(3)=3 ):}$.
Così mi trovo, ad esempio, $z_c=f_1(x_c)$, $y_c=f_2(x_c)$, e l'equazione della sfera che passa per $P_0$ di centro $C$ e raggio $r$ diventa:
$(2-x_c)^2+(1-y_c)^2+(-2-z_c)^2=9=>(2-x_c)^2+(1-f_1(x_c))^2+(-2-f_2(x_c))^2=9$ e da qui mi trovo $x_c$ e quindi posso scrivere l'equazione:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=9$.
Secondo voi va bene il procedimento? Ce n'è qualche altro più rapido?

[adaBTTLS1]

mi pare che nel tuo sistema tu abbia messo una sfera di centro $P_0$ e l'insieme dei punti di due piani tangenti.
in effetti le soluzioni devono essere due. non è sbagliato, ma credo che sia meglio ricorrere alla retta perpendicolare, anche se non ricordo quanto sia lungo il procedimento...

[Sk_Anonymous]

Qualcuno conosce un metodo piú rapido?

[apatriarca]

adaBTTLS ha ragione, è più rapido ricorrere alla retta tangente. La normale al piano è \((1, 1, 1)\) e quindi i centri delle due sfere saranno \((2, 1, -2) \pm (3/\sqrt{3})(1, 1, 1),\) cioè \((2 \pm \sqrt{3}, 1 \pm \sqrt{3}, -2 \pm \sqrt{3}).\) L'equazione della sfera sarà quindi:
\[ (x - 2 \mp \sqrt{3})^2 + (y - 1 \mp \sqrt{3})^2 + (z + 2 \mp \sqrt{3})^2 = 9. \]