Volume parallelepipedo

[nickronaldo7]

Salve a tutti, dovrei trovare il volume di un parallelepipedo conoscendo 4 vertici:
A=(1; 0; 0),B=(0; 2; 1),C=(-1; 1; 1),D=(3; 1;-1)

Avevo pensato di trovare i 3 vettori a=B-A; b=C-A; c=D-A e farne il prodotto misto. Il valore assoluto del determinante del prodotto misto corrisponderà al volume del parallelepipedo ma così facendo purtroppo sbaglio qualcosa in quanto non corrisponde al risultato che ci ha dato il nostro prof.
Spero che mi aiutiate, grazie mille

[kobeilprofeta]

Un parallelepipedo ne ha 8 di vertici... Così è un parallelogramma (forse...).

[nickronaldo7]

be si..però calcolando il valore assoluto del det del prodotto misto per definizione questo corrisponde al volume di un parallelepipedo, correggetemi se sbaglio

[adaBTTLS1]

il fatto che i sei segmenti siano a due a due non paralleli non garantisce su come possano essere distribuiti i vertici.
sei certo che non ci siano altre informazioni, ad esempio sul fatto che tre siano spigoli e quali oppure qualcuno sia una diagonale di una faccia o del parallelepipedo?

[nickronaldo7]

La traccia precisa è: "Il volume del parallelepipedo con vertici (1, 0, 0); (0, 2, 1); (-1, 1, 1); (3,1,-1) vale"

[adaBTTLS1]

detto così, verrebbe da rispondere come diceva kobeilprofeta, perché il parallelepipedo non ha solo quattro vertici; è chiaro, però, che gli altri si possono trovare, se si sa come convenzionalmente vengono presi i primi quattro. io mi sono divertita a vedere, anche se questi argomenti non li tratto da tantissimo tempo, se qualche coppia di spigoli risultava parallela, ed effettivamente non c'è tra AB,AC,AD,BC,BD,CD alcuna coppia di segmenti paralleli, quindi sembrerebbe sensato usare la tua interpretazione. hai provato a prendere un altro punto come vertice comune?
eventualmente, prova a postare i calcoli.
ciao.

[nickronaldo7]

allora la risposta è che il volume del parallelepipedo vale 1.
Io ho provato a fare così: premettendo che A=(1,0,0) B=(0,2,1) C=(-1,1,1) D=(3,1,-1)
a=B-A=(0,2,1)-(1,0,0)=(-1,2,1)
b=C-A=(-1,1,1)-(1,0,0)=(-2,1,1)
c=D-A=(3,1,-1)-(1,0,0)=(2,1,-1)
Poi avendo questi 3 vettori ho fatto il valore assoluto del determinante del prodotto misto che di norma è uguale al volume del parallelepipedo:
|det[a*(bxc)]|=|-2|=2

facendo il valore assoluto del det. :
|-1 2 1|
|-2 1 1|=|-1(-1-1)+2(2-2)+1(-2-2)|=|2+0-4|=|-2|=2
|2 1 -1|
Naturalmente facendo A-B C-B D-B prendendo quindi come riferimento il vettore B invece che A, il risultato non cambia.
Ora dovrebbe uscire 1 invece di 2, pertanto non so se è un errore di calcolo o di procedimento!

[adaBTTLS1]

eh, sì, mi pare che tu abbia ragione...
però, pensandoci bene, probabilmente l'errore nel testo potrebbe essere non quello di non specificare come sono posti i vertici, ma magari si tratta di un tetraedro, e quindi il volume è proprio la metà di quello del parallelepipedo...

[nickronaldo7]

"adaBTTLS":eh, sì, mi pare che tu abbia ragione...
però, pensandoci bene, probabilmente l'errore nel testo potrebbe essere non quello di non specificare come sono posti i vertici, ma magari si tratta di un tetraedro, e quindi il volume è proprio la metà di quello del parallelepipedo...

Scusami ma il volume del tetraedro non è un sesto di quello del parallelepipedo come mai dici che è la metà??
Cioè voglio dire che una volta ottenuto il volume del parallelepipedo moltiplicandolo per 1/6 otteniamo il volume del tetraedro.

[adaBTTLS1]

sì, scusami, ho detto una sciocchezza... pensavo a come tagliare a metà il parallelepipedo, ma se si considerano solo quattro vertici non è possibile.