Esistenza di un'applicazione lineare al variare di un parametro
Dati:
$ f_a(1,3,4) = (1,2,0)$; $ f_a(2,2,1) = (0,1,1)$; $ f_a(-2,1,4) = (1,1,a)$; $ f_a(1,6,9) = (2,4,a^2+a)$
Dire per quali valori di $ a in R$ esiste un'applicazione lineare $ f_a: R^3 -> R^3$ che soddisfa le condizioni date? L'applicazione e' unica?
Esiste una applicazione unica solo se i vettori $(1,3,4),(2,2,1),(-2,1,4),(1,6,9)$ formano una base tuttavia
osservo che $dimR^3 = 3$ quindi uno di loro e' combinazione lineare degli altri, ne tolgo uno ad esempio $(1,6,9)$.
Vorrei sapere se fino a qui e' corretto, ora continuerei verificando se i 3 vettori rimasti sono linearmente indipendenti e generatori, in caso affermativo esiste una e una solo applicazione lineare. Se invece sono solo linearmente indipendenti allora esiste almeno una applicazione lineare. Tuttavia ho il dubbio di sbagliare in quanto nel mio procedimento $a$ non compare mai.
$ f_a(1,3,4) = (1,2,0)$; $ f_a(2,2,1) = (0,1,1)$; $ f_a(-2,1,4) = (1,1,a)$; $ f_a(1,6,9) = (2,4,a^2+a)$
Dire per quali valori di $ a in R$ esiste un'applicazione lineare $ f_a: R^3 -> R^3$ che soddisfa le condizioni date? L'applicazione e' unica?
Esiste una applicazione unica solo se i vettori $(1,3,4),(2,2,1),(-2,1,4),(1,6,9)$ formano una base tuttavia
osservo che $dimR^3 = 3$ quindi uno di loro e' combinazione lineare degli altri, ne tolgo uno ad esempio $(1,6,9)$.
Vorrei sapere se fino a qui e' corretto, ora continuerei verificando se i 3 vettori rimasti sono linearmente indipendenti e generatori, in caso affermativo esiste una e una solo applicazione lineare. Se invece sono solo linearmente indipendenti allora esiste almeno una applicazione lineare. Tuttavia ho il dubbio di sbagliare in quanto nel mio procedimento $a$ non compare mai.
Risposte
i 3 vettori da te scelti costituiscono una base di $mathbbR^3$
quindi esistono tre numeri $x,y,z$ tali che
$(1,6,9)=x(1,3,4)+y(2,2,1)+z(-2,1,4)$
devi imporre che
$x(1,2,0)+y(0,1,1)+z(1,1,a)=(2,4,a^2+a)$
quindi esistono tre numeri $x,y,z$ tali che
$(1,6,9)=x(1,3,4)+y(2,2,1)+z(-2,1,4)$
devi imporre che
$x(1,2,0)+y(0,1,1)+z(1,1,a)=(2,4,a^2+a)$
ok allora:
$(1,6,9)=x(1,3,4)+y(2,2,1)+z(−2,1,4)$
risolvendo il sistema risulta:
$ x = 1, y = 1, z = 1$
Ora visto che l'applicazione e' lineare e $(1,6,9)$ e' combinazione lineare degli altri vettori l'applicazione esiste se:
$ x(1,2,0)+y(0,1,1)+z(1,1,a)=(2,4,a^2+a) $
$ (1,2,0)+(0,1,1)+(1,1,a)=(2,4,a^2+a) $
$ (2,4,a^2+a) = (2,4,a+1) $
quindi:
$ a^2+ a = a+1 $ se e solo se $ a = +- 1 $
Ora per tali valori devo calcolare nucleo e immagine:
Sia $ a = 1$ calcolo l'immagine:
$fa(1,3,4)=(1,2,0); fa(2,2,1)=(0,1,1); fa(−2,1,4)=(1,1,1)$
$ I_m(L) =$
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1),(1,1,1)>$
I tre vettori sono linearmente indipendenti quindi
$ dim(I_m(L)) = 3$
Quindi visto che $ dim(R^3) = dim(N(L)) + dim(I_m(L)) $ allora $ N(L) = 0_(R^3)$
Per $ a = -1$
$fa(1,3,4)=(1,2,0); fa(2,2,1)=(0,1,1); fa(−2,1,4)=(1,1,-1)$
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1),(1,1,-1)>$
I vettori sono linearmente dipendenti, l'ultimo e' differenza degli altri due quindi lo posso rimuovere
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1)>$
quindi:
$ dim(I_m(L)) = 2$
$ dim(N(L)) = 1$
Ora pero' come determino il nucleo?
$(1,6,9)=x(1,3,4)+y(2,2,1)+z(−2,1,4)$
risolvendo il sistema risulta:
$ x = 1, y = 1, z = 1$
Ora visto che l'applicazione e' lineare e $(1,6,9)$ e' combinazione lineare degli altri vettori l'applicazione esiste se:
$ x(1,2,0)+y(0,1,1)+z(1,1,a)=(2,4,a^2+a) $
$ (1,2,0)+(0,1,1)+(1,1,a)=(2,4,a^2+a) $
$ (2,4,a^2+a) = (2,4,a+1) $
quindi:
$ a^2+ a = a+1 $ se e solo se $ a = +- 1 $
Ora per tali valori devo calcolare nucleo e immagine:
Sia $ a = 1$ calcolo l'immagine:
$fa(1,3,4)=(1,2,0); fa(2,2,1)=(0,1,1); fa(−2,1,4)=(1,1,1)$
$ I_m(L) =
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1),(1,1,1)>$
I tre vettori sono linearmente indipendenti quindi
$ dim(I_m(L)) = 3$
Quindi visto che $ dim(R^3) = dim(N(L)) + dim(I_m(L)) $ allora $ N(L) = 0_(R^3)$
Per $ a = -1$
$fa(1,3,4)=(1,2,0); fa(2,2,1)=(0,1,1); fa(−2,1,4)=(1,1,-1)$
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1),(1,1,-1)>$
I vettori sono linearmente dipendenti, l'ultimo e' differenza degli altri due quindi lo posso rimuovere
$ I_m(L) = < (1,2,0),(0,1,1)>$
quindi:
$ dim(I_m(L)) = 2$
$ dim(N(L)) = 1$
Ora pero' come determino il nucleo?
una strada può essere questa :
calcola le coordinate dei vettori della base canonica rispetto alla base data
in questo modo puoi ottenere $f(1,0,0);f(0,1,0);f(0,0,1)$
detta $A$ la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica,risolvi il sistema
$ A cdot( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
calcola le coordinate dei vettori della base canonica rispetto alla base data
in questo modo puoi ottenere $f(1,0,0);f(0,1,0);f(0,0,1)$
detta $A$ la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica,risolvi il sistema
$ A cdot( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Devo risolverlo senza cambiare la base.
Per risolverlo ho usato un altro metodo
Il nucleo e' formato da tutti quei vettori che finiscono nel vettore nullo dell'immagine, quindi visto che l'applicazione e' lineare i conti possono essere fatti a scelta nel dominio o nell'immagine. Per risolverlo ho quindi calcolato i coefficienti che mi permettono di esprimere il vettore nullo come combinazione lineare dei generatori dell'immagine
$Im(L)=<(1,2,0),(0,1,1),(1,1,−1)>$ sono generatori linearmente dipendenti
$ a(1,2,0)+b(0,1,1)+c(1,1,−1)=(0,0,0)$
risolvo il sistema e trovo
${ ( a=-c),( 0=0 ),( b=c ):}$
$ c(-(1,2,0)+(0,1,1)+(1,1,−1))=(0,0,0)$
Visto che l'applicazione e' lineare questi coefficienti sono uguali anche nel dominio quindi
$ -(1,3,4)+(2,2,1)+(-2,1,4)=(-1,0,1)$
Quindi
$ N(La)=<(-1,0,1)>$
E' corretto?
Per risolverlo ho usato un altro metodo
Il nucleo e' formato da tutti quei vettori che finiscono nel vettore nullo dell'immagine, quindi visto che l'applicazione e' lineare i conti possono essere fatti a scelta nel dominio o nell'immagine. Per risolverlo ho quindi calcolato i coefficienti che mi permettono di esprimere il vettore nullo come combinazione lineare dei generatori dell'immagine
$Im(L)=<(1,2,0),(0,1,1),(1,1,−1)>$ sono generatori linearmente dipendenti
$ a(1,2,0)+b(0,1,1)+c(1,1,−1)=(0,0,0)$
risolvo il sistema e trovo
${ ( a=-c),( 0=0 ),( b=c ):}$
$ c(-(1,2,0)+(0,1,1)+(1,1,−1))=(0,0,0)$
Visto che l'applicazione e' lineare questi coefficienti sono uguali anche nel dominio quindi
$ -(1,3,4)+(2,2,1)+(-2,1,4)=(-1,0,1)$
Quindi
$ N(La)=<(-1,0,1)>$
E' corretto?
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