Unica soluzione di un sistema

[Shika93]

Ho un sistema definito da due matrici $A, B$ dipendenti dalla variabile $h$, mi viene chiesto per quale $h$ il sistema $AX=B$ ammette un'unica soluzione.
Io so che data l'applicazione $L:\RR^n -> \RR^m$ il sistema ammette una sola soluzione se $rnk(\barA)=rnk(A)=n$ allora ammette un'unica soluzione
dove $\barA=(A|B)$

Io ho fatto le mie verifiche e ho trovato che il rango di A è 2 per $h!=-1,-2$ e il rango di $\barA(-1)=1$ e $\barA(-2)=2$
non c'è nessun $h$ tale per cui il sistema ammetta un'unica soluzione.
Dico bene?

[garnak.olegovitc1]

@Shika93

"Shika93":Ho un sistema definito da due matrici $A, B$ dipendenti dalla variabile $h$, mi viene chiesto per quale $h$ il sistema $AX=B$ ammette un'unica soluzione.
Io so che data l'applicazione $L:\RR^n -> \RR^m$ il sistema ammette una sola soluzione se $rnk(\barA)=rnk(A)=n$ allora ammette un'unica soluzione
dove $\barA=(A|B)$

Io ho fatto le mie verifiche e ho trovato che il rango di A è 2 per $h!=-1,-2$ e il rango di $\barA(-1)=1$ e $\barA(-2)=2$
non c'è nessun $h$ tale per cui il sistema ammetta un'unica soluzione.
Dico bene?

vediamo se ho capito bene, \( B \) sarebbe la matrice dei "termini noti del sistema lineare" ? Se si, allora si "usa usare" la letttera minuscola \( \text{b} \)..

"Shika93":
Io ho fatto le mie verifiche e ho trovato che il rango di A è 2 per $h!=-1,-2$ e il rango di $\barA(-1)=1$ e $\barA(-2)=2$
non c'è nessun $h$ tale per cui il sistema ammetta un'unica soluzione.
Dico bene?

Non capisco poi le scritture $\barA(-1)$ e $\barA(-2)$. Potresti postare il sistema "incriminato" in questione!

Saluti

"Shika93":
Io so che data l'applicazione $L:\RR^n -> \RR^m$ il sistema ammette una sola soluzione se $rnk(\barA)=rnk(A)=n$ allora ammette un'unica soluzione
dove $\barA=(A|B)$

a me viene da dirti "come definisci soluzione di un sistema?", se è un insieme di \(n-\)uple allora è unico per definizione anche quando non è determinato (e Crameriano) nel tuo caso di verifica!

[Shika93]

"garnak.olegovitc":@Shika93

[quote="Shika93"]Ho un sistema definito da due matrici $A, B$ dipendenti dalla variabile $h$, mi viene chiesto per quale $h$ il sistema $AX=B$ ammette un'unica soluzione.
Io so che data l'applicazione $L:\RR^n -> \RR^m$ il sistema ammette una sola soluzione se $rnk(\barA)=rnk(A)=n$ allora ammette un'unica soluzione
dove $\barA=(A|B)$

Io ho fatto le mie verifiche e ho trovato che il rango di A è 2 per $h!=-1,-2$ e il rango di $\barA(-1)=1$ e $\barA(-2)=2$
non c'è nessun $h$ tale per cui il sistema ammetta un'unica soluzione.
Dico bene?

vediamo se ho capito bene, \( B \) sarebbe la matrice dei "termini noti del sistema lineare" ? Se si, allora si "usa usare" la letttera minuscola \( \text{b} \).. [/quote]
Ah...Mai detto/fatto in classe.

$A=((h,-1),(2h+2,h+1),(h,-1))$ $B=((3),(0),(3(h+2)^2))$
$L:\RR^2 ->\RR^3$ è l'applicazione lineare definita da $A:L(X)=AX$

Per prima cosa mi viene chiesto determinare per quali $h$ il sistema $AX=B$ ammette soluzioni
Per Rouchè-Capelli ammette soluzioni quando $rnk(A)=rnk(\barA)$. Io so che $rnk(A)<=2$ perchè è una matrice 3x2

Prendo il minore 2x2 di A e verifico per quali $h$ ho rango 2 $\AAh!=-1,-2$
Siccome le due cose vanno in conflitto mi verrebbe da dire che non ammette mai un'unica soluzione.

$\Delta=[(h,-1),(2h+2,h+1)] => |\Delta|=h(h+1)+2h+2=>h=-1,-2$
Per $h!=-1,-2$, $rnk(A)=2$
Sostituisco quindi i due valori nella matrice e trovo che $rnk(A(-1))=1$, $rnk(A(-2))=1$

A questo punto scrivo la matrice completa $\barA=[(h,-1,3),(2h+2,h+1,0),(h,-1,3(h+2)^2)]$
Quindi trovo che $rnk(\barA(-1))=1=rnk(A)$ quindi è verificato R-C, $rnk(\barA(-2))=2!=rnk(A)$ quindi ammette soluzione per $h=-1$

A questo punto R-C mi dice che ammette un'unica soluzione in questo caso per $rnk(A)=rnk(\barA)=2$
Io so il rango della completa è 2 per $h=-2$ e il rango di A è 2

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":

$A=((h,-1),(2h+2,h+1),(h,-1))$ $B=((3),(0),(3(h+2)^2))$
$L:\RR^2 ->\RR^3$ è l'applicazione lineare definita da $A:L(X)=AX$

Per prima cosa mi viene chiesto determinare per quali $h$ il sistema $AX=B$ ammette soluzioni
Per Rouchè-Capelli ammette soluzioni quando $rnk(A)=rnk(\barA)$. Io so che $rnk(A)<=2$ perchè è una matrice 3x2

Prendo il minore 2x2 di A e verifico per quali $h$ ho rango 2 $\AAh!=-1,-2$
Siccome le due cose vanno in conflitto mi verrebbe da dire che non ammette mai un'unica soluzione.

$\Delta=[(h,-1),(2h+2,h+1)] => |\Delta|=h(h+1)+2h+2=>h=-1,-2$
Per $h!=-1,-2$, $rnk(A)=2$
Sostituisco quindi i due valori nella matrice e trovo che $rnk(A(-1))=1$, $rnk(A(-2))=1$

A questo punto scrivo la matrice completa $\barA=[(h,-1,3),(2h+2,h+1,0),(h,-1,3(h+2)^2)]$
Quindi trovo che $rnk(\barA(-1))=1=rnk(A)$ quindi è verificato R-C, $rnk(\barA(-2))=2!=rnk(A)$ quindi ammette soluzione per $h=-1$

A questo punto R-C mi dice che ammette un'unica soluzione in questo caso per $rnk(A)=rnk(\barA)=2$
Io so il rango della completa è 2 per $h=-2$ e il rango di A è 2

salti alcuni passaggi fondamentali... e alcuni ragionamenti non mi convincono tu hai il sistema lineare $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
hx-y=3\\
(2h+2)x+(h+1)y=0\\
hx-y=3(h+2)^2
\end{matrix}\right. \text{ ; con } h \in \Bbb{R}$$ la matrice incompleta ed completa di \(\Sigma\) sono rispettivamente $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
h&-1 \\
2h+2&h+1 \\
h&-1
\end{Vmatrix} \text{ ; } A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
h&-1&3 \\
2h+2&h+1&0 \\
h&-1&3(h+2)^2
\end{Vmatrix}$$
Il \( \mathbf{rnk}(A(\Sigma))=2 \leftrightarrow h \neq -1 \wedge h \neq -2 \) (nel calcolo viene \( \det\left (\begin{Vmatrix}
h&-1 \\
2h+2&h+1
\end{Vmatrix} \right )=(h+2)(h+1)\))
Il \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3 \leftrightarrow h \neq -1 \wedge h \neq -2 \wedge h \neq -3 \) (nel calcolo viene \( \det(A|\text{b}(\Sigma))=3(h+1)^2(h+2)(h+3)\))

ti ritrovi sin qui?

Saluti

p.s.=spero di aver capito bene l'esercizio!

[ot]finalmente un buon esercizio[/ot]

[Shika93]

Si, fin qua nessun problema. Giusto non calcolavo il determinante della completa. Ci buttavo dentro i termini che trovavo col minore 2x2 di A

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,
quindi cosa puoi dire per \( h \neq -1 \wedge h \neq -2 \wedge h \neq -3 \)?
Saluti

[Shika93]

Che il rango di A e della completa sono diversi e quindi non ammettono soluzioni per $h!=-1,-2,-3$ poichè A ha rango massimo per $h!=-1,-2$ mentre non so niente per $h!=-3$ ma comunque non avrà mai un rango uguale a quello della completa poichè A è una 3x2, quindi $rnk(A)<=2$
Quindi potrei vedere cosa succede allle due per $h=-1,-2,-3$

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":Che il rango di A e della completa sono diversi e quindi non ammettono soluzioni per $h!=-1,-2,-3$ poichè A ha rango massimo per $h!=-1,-2$ mentre non so niente per $h!=-3$ ma comunque non avrà mai un rango uguale a quello della completa poichè A è una 3x2, quindi $rnk(A)<=2$
Quindi potrei vedere cosa succede allle due per $h=-1,-2,-3$

in parte è giusto, ma non capisco quando dici

"Shika93":... mentre non so niente per $h!=-3$ ma comunque non avrà mai un rango uguale a quello della completa poichè A è una 3x2, quindi $rnk(A)<=2$

sai qualcosa, sai che \(h=-3 \to \mathbf{rnk}(A(\Sigma))=2 \) concordi? E invece \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=?\) Sicuramente per \(h=-3\) avremo \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma)) < 3 \) ma certamente \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=2 \) poichè \(A(\Sigma) \) è una sottomatrice di \(A|\text{b}(\Sigma)\).. Se per \( h=-3 \) si ha \( \mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=2 \) allora il sistema è compatibile per Rouchè-Capelli e determinato (oltre che Crameriano).. concordi sin qui?

Saluti

[Shika93]

Intendevo dire ciò che hai fatto tu. Mi sono spiegato male. Infatti mi torna.
Ho controllato anche per gli altri valori di h. Pertanto il sistema ammette un'unica soluzione per $h=-3$

Giusto una cosa di cui mi sono perso, ovvero la teoria di Rouchè-Capelli. Io devo verificare sia il rango della matrice A dipendente da h, sia il rango della matrice completa dipendente da h? Perchè io controllavo solo il rango di A, trovavo i valori di h e li mettevo dentro direttamente alla completa. Quindi sicuramente era per questo che non mi tornava l'esercizio.

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":Intendevo dire ciò che hai fatto tu. Mi sono spiegato male. Infatti mi torna.
Ho controllato anche per gli altri valori di h. Pertanto il sistema ammette un'unica soluzione per $h=-3$

Giusto una cosa di cui mi sono perso, ovvero la teoria di Rouchè-Capelli. Io devo verificare sia il rango della matrice A dipendente da h, sia il rango della matrice completa dipendente da h? Perchè io controllavo solo il rango di A, trovavo i valori di h e li mettevo dentro direttamente alla completa. Quindi sicuramente era per questo che non mi tornava l'esercizio.

tranquillo, in merito a

"Shika93":
Ho controllato anche per gli altri valori di h. Pertanto il sistema ammette un'unica soluzione per $h=-3$

per semplice curiosità, potresti postare il ragionamento?!

Saluti

[Shika93]

$A(-1)=((-1,-1),(0,0),(-1,-1))$ ha rango 1 perchè le due colonne $A^1,A^2$ sono uguali
$\barA(-1)=((-1,-1,3),(0,0,0),(-1,-1,3))$ pure qui ovviamente perchè $A^1,A^2$ sono uguali e la terza è $-3A^1$

$A(-2)=((-2,-1),(-2,-1),(-2,-1))$ ha rango 1 perchè $A^1=2A^2$
$\barA(-2)=((-2,-1,3),(-2,-1,0),(-2,-1,0))$ ha rango 2 perchè la terza colonna è linearmente indipendente dalle altre due

$A(-3)=((-3,-1),(-4,-2),(-3,-1))$ ha rango 2 perchè le righe $A_1,A_3$ sono uguali e $A_2$ è linearmente indipendente dalle altre
$\barA(-3)=((-3,-1,3),(-4,-2,0),(-3,-1,3))$ ha rango 2 per lo stesso motivo dell'altra.

Siccome per R-C $rnk(A)=rnk(\barA)=2$, ammette un'unica soluzione per $h=-3$

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":$A(-1)=((-1,-1),(0,0),(-1,-1))$ ha rango 1 perchè le due colonne $A^1,A^2$ sono uguali
$\barA(-1)=((-1,-1,3),(0,0,0),(-1,-1,3))$ pure qui ovviamente perchè $A^1,A^2$ sono uguali e la terza è $-3A^1$

$A(-2)=((-2,-1),(-2,-1),(-2,-1))$ ha rango 1 perchè $A^1=2A^2$
$\barA(-2)=((-2,-1,3),(-2,-1,0),(-2,-1,0))$ ha rango 2 perchè la terza colonna è linearmente indipendente dalle altre due

$A(-3)=((-3,-1),(-4,-2),(-3,-1))$ ha rango 2 perchè le righe $A_1,A_3$ sono uguali e $A_2$ è linearmente indipendente dalle altre
$\barA(-3)=((-3,-1,3),(-4,-2,0),(-3,-1,3))$ ha rango 2 per lo stesso motivo dell'altra.

Siccome per R-C $rnk(A)=rnk(\barA)=2$, ammette un'unica soluzione per $h=-3$

se ho capito bene, l'esercizio vuole solo il caso in cui il sistema è determinato? Se si, allora sei a cavallo !!!

Saluti

[Shika93]

Si, determinare per quali h il sistema $AX=B$ ammette soluzioni e per quale h ammette un'unica soluzione. Dopodichè mi da un h fissato e mi dice di risolverlo ma qui non ci sono problemi. Siccome A è una 3x2 e B una 3x1, X è una 2x1.
Poi lo semplifico per sostituzione (anche perchè gli altri metodi non li so usare)

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":Si, determinare per quali h il sistema $AX=B$ ammette soluzioni e per quale h ammette un'unica soluzione. Dopodichè mi da un h fissato e mi dice di risolverlo ma qui non ci sono problemi. Siccome A è una 3x2 e B una 3x1, X è una 2x1.
Poi lo semplifico per sostituzione (anche perchè gli altri metodi non li so usare)

capito, ma tu hai verificato che per \( h=-1 \) il sistema è anche compatibile, ergo ammette soluzione (non unica)[nota]è il caso di sistema indeterminato a variabili libere[/nota].. concordi su questo?

Saluti

[Shika93]

Si, ovviamente era il punto precedente dell'esercizio.

$A(-1)=((-1,-1),(0,0),(-1,-1))$, $\barA(-1)=((-1,-1,3),(0,0,0),(-1,-1,3))$ e si vede che hanno entrambe rango pari a 1.
Per $h=-2$ invece $rnk(A)=1, rnk(\barA)=2$

[garnak.olegovitc1]

@Shika93,

"Shika93":Si, ovviamente era il punto precedente dell'esercizio.

$A(-1)=((-1,-1),(0,0),(-1,-1))$, $\barA(-1)=((-1,-1,3),(0,0,0),(-1,-1,3))$ e si vede che hanno entrambe rango pari a 1.
Per $h=-2$ invece $rnk(A)=1, rnk(\barA)=2$

okok... volevo sapere se consideravi anche quel caso come soluzione del tuo esercizio! Non ho altro da aggiungere..!

Saluti

[Shika93]

Perfetto. Grazie mille per la pazienza