Distanza fra due rette
Ciao a tutti!
Sto avendo difficoltà a risolvere questo esercizio:
Determinare la distanza tra la retta r generata da (1,2,1) e passante per (0,-1,2) e la retta di equazioni
x + y -z = 1 e x + 2y + 3z = 0
Applicando la formula per ottenere le equazioni parametriche ottengo:
$ { ( x = 1 -t ),( y = 2 -3t ),( z = 1 +t ):} $
Vedendo i parametri direttori delle due rette mi pare di capire che sono due rette sghembe, e quindi devo usare la formula
$ delta = ((| -d + d1| )/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) $
Però ora non capisco come arrivare a ottenere i parametri da sostituire in quella formula..
Grazie
Sto avendo difficoltà a risolvere questo esercizio:
Determinare la distanza tra la retta r generata da (1,2,1) e passante per (0,-1,2) e la retta di equazioni
x + y -z = 1 e x + 2y + 3z = 0
Applicando la formula per ottenere le equazioni parametriche ottengo:
$ { ( x = 1 -t ),( y = 2 -3t ),( z = 1 +t ):} $
Vedendo i parametri direttori delle due rette mi pare di capire che sono due rette sghembe, e quindi devo usare la formula
$ delta = ((| -d + d1| )/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) $
Però ora non capisco come arrivare a ottenere i parametri da sostituire in quella formula..
Grazie
Risposte
tra la retta r generata da (1,2,1) e passante per (0,-1,2)
$ r_1=((x),(y),(z))=((0),(-1),(2))+s((1),(2),(1)) $
poi l'altra retta (mi fido dei tuoi calcoli)
$ r_2={ ( x = 1 -t ),( y = 2 -3t ),( z = 1 +t ):} $
allora NON sono parallele, i vettori direttori NON sono proporzionali
$ \ul(v)_(r_1)=((1),(2),(1)) $ e $ \ul(v)_(r_2)=((-1),(-3),(1)) $
nessuno dei 2 vettori direttori è multiplo dell'altro. Quindi ipotesi parallele, scartata!
Possono essere o incidenti oppure sghembe (lascio a te la verifica)
SE SONO SGHEMBE, e calcolare la distanza tra le 2 rette, il mio esercitatore ci aveva detto quest'altro trucco
Date 2 rette sghembe $r_1, r_2$ si può trovare un piano $\pi$ che contine $r_1$ e parallelo a $r_2$. Ebbene possiamo calcolare la distanza fra $r_1$ ed $r_2$ come la distanza fra $\pi$ e un qualsiasi punto dell'altra retta.
Detto in simboli $d(r_1,r_2)=d(\pi, P_2), \forall P_2\in r_2$
poi ci ha dato degli altri criteri, ma questo mi sembrava quello più veloce e più semplice.. prova
Per vedere se le rette sono sghembe (se non sai come si fa)
[ot]per esempio queste 2 rette sono sghembe
$ r_1={ ( x=1-3t ),( y=-1+t ),( z=2-t ):}; r_2={ ( x=1+2s ),( y=3-2s ),( z=-3+3s ):} $
come si fa a vedere? semplice..
$ r_1\cap r_2={ ( 1+2s=1-3t ),( 3-2s=-1+t ),( -3+3s=2-t ):}\to .... { ( s=3 ),( t=-2 ),( -3+9=4 ):} $
l'ultima identità è FALSA, quindi le rette NON hanno alcun punto in comune, sono sghembe[/ot]
$ r_1=((x),(y),(z))=((0),(-1),(2))+s((1),(2),(1)) $
poi l'altra retta (mi fido dei tuoi calcoli)
$ r_2={ ( x = 1 -t ),( y = 2 -3t ),( z = 1 +t ):} $
allora NON sono parallele, i vettori direttori NON sono proporzionali
$ \ul(v)_(r_1)=((1),(2),(1)) $ e $ \ul(v)_(r_2)=((-1),(-3),(1)) $
nessuno dei 2 vettori direttori è multiplo dell'altro. Quindi ipotesi parallele, scartata!
Possono essere o incidenti oppure sghembe (lascio a te la verifica)
SE SONO SGHEMBE, e calcolare la distanza tra le 2 rette, il mio esercitatore ci aveva detto quest'altro trucco
Date 2 rette sghembe $r_1, r_2$ si può trovare un piano $\pi$ che contine $r_1$ e parallelo a $r_2$. Ebbene possiamo calcolare la distanza fra $r_1$ ed $r_2$ come la distanza fra $\pi$ e un qualsiasi punto dell'altra retta.
Detto in simboli $d(r_1,r_2)=d(\pi, P_2), \forall P_2\in r_2$
poi ci ha dato degli altri criteri, ma questo mi sembrava quello più veloce e più semplice.. prova
Per vedere se le rette sono sghembe (se non sai come si fa)
[ot]per esempio queste 2 rette sono sghembe
$ r_1={ ( x=1-3t ),( y=-1+t ),( z=2-t ):}; r_2={ ( x=1+2s ),( y=3-2s ),( z=-3+3s ):} $
come si fa a vedere? semplice..
$ r_1\cap r_2={ ( 1+2s=1-3t ),( 3-2s=-1+t ),( -3+3s=2-t ):}\to .... { ( s=3 ),( t=-2 ),( -3+9=4 ):} $
l'ultima identità è FALSA, quindi le rette NON hanno alcun punto in comune, sono sghembe[/ot]
Calma ho un po di confusione in testa..
Io ho questa retta vista come intersezione di due piani (quindi si dice cartesiana, non parametrica giusto?)
$ r_1={ ( x+y-z = 1 ),( x+2y+3z = 0 ):} $
e quest'altra retta espressa con equazioni parametriche
$ r_2={ ( x= t),( y = -1+2t ),(z= 2+t):} $
Vedendo l'unico esempio che ho nel libro, a me servono due rette viste come intersezioni di due piani (per poter calcolare la distanza come distanza fra due piani paralleli contenenti r1 e r2) , solo che la seconda è espressa con equazioni parametriche.
Se provo a mettere la seconda equazione in forma cartesiana ottengo:
$ r_2={ ( y = -1+2x),( z = 2+x ):} $
che però non è un intersezione di due piani che è quello che servirebbe a me per usare la formula $ delta = ((| -d + d1| )/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) $
Io ho questa retta vista come intersezione di due piani (quindi si dice cartesiana, non parametrica giusto?)
$ r_1={ ( x+y-z = 1 ),( x+2y+3z = 0 ):} $
e quest'altra retta espressa con equazioni parametriche
$ r_2={ ( x= t),( y = -1+2t ),(z= 2+t):} $
Vedendo l'unico esempio che ho nel libro, a me servono due rette viste come intersezioni di due piani (per poter calcolare la distanza come distanza fra due piani paralleli contenenti r1 e r2) , solo che la seconda è espressa con equazioni parametriche.
Se provo a mettere la seconda equazione in forma cartesiana ottengo:
$ r_2={ ( y = -1+2x),( z = 2+x ):} $
che però non è un intersezione di due piani che è quello che servirebbe a me per usare la formula $ delta = ((| -d + d1| )/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) $
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