[Esercizio / Dubbio] Basi di sottospazi vettoriali
Si considerino i seguenti sottoinsiemi di $RR^4$:
$E={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-2y-z+t=0}$
$F={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-y-2z-t=0}$
(a) Provare che E ed F sono sottospazi di $in$ e si trovi una base di ciascuno di essi.
[size=150]SOLUZIONE[/size]:
Essendo il sistema omogeneo, $E$ è un sottospazio di $RR^4$ .
La matrice dei coefficienti è: $ A=( 1, 2, -1, 1)$ pertanto è evidente che il rango è $1$.
L'applicazione lineare associata alla matrice $A$ è: $L_a$: $RR^4$ $rarr$ $RR$.
DUBBIO:
Come soluzione per quanto concerne la rappresentazione di una base mi è stata fornita la seguente soluzione:
$dim(E)=dim(Ker($ $L_a$ $))=4-1=3$.
Ma la dimensione non dovrebbe essere data dai vettori linearmente indipendenti della matrice, cosa che in questo caso sarebbe $dim(E)={(1,2,-1,1)=1}$ ?
$E={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-2y-z+t=0}$
$F={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-y-2z-t=0}$
(a) Provare che E ed F sono sottospazi di $in$ e si trovi una base di ciascuno di essi.
[size=150]SOLUZIONE[/size]:
Essendo il sistema omogeneo, $E$ è un sottospazio di $RR^4$ .
La matrice dei coefficienti è: $ A=( 1, 2, -1, 1)$ pertanto è evidente che il rango è $1$.
L'applicazione lineare associata alla matrice $A$ è: $L_a$: $RR^4$ $rarr$ $RR$.
DUBBIO:
Come soluzione per quanto concerne la rappresentazione di una base mi è stata fornita la seguente soluzione:
$dim(E)=dim(Ker($ $L_a$ $))=4-1=3$.
Ma la dimensione non dovrebbe essere data dai vettori linearmente indipendenti della matrice, cosa che in questo caso sarebbe $dim(E)={(1,2,-1,1)=1}$ ?
Risposte
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
C'è un errore concettuale. L'equazione che rappresenta il sottospazio può essere scritta così:
$x=z-t-2y$ Significa che ci sono tre parametri indipendenti e al variare di questi avrai i diversi vettori appartenenti a $E$. Una base la puoi trovare assegnando il valore $1$ a ciascun parametro (in questo caso $z,t,y$).
La base allora diventa:
$(-1,0,0,1),(1,0,1,0),(-2,1,0,0)$.
Spero sia chiaro, altrimenti chiedi pure!
$x=z-t-2y$ Significa che ci sono tre parametri indipendenti e al variare di questi avrai i diversi vettori appartenenti a $E$. Una base la puoi trovare assegnando il valore $1$ a ciascun parametro (in questo caso $z,t,y$).
La base allora diventa:
$(-1,0,0,1),(1,0,1,0),(-2,1,0,0)$.
Spero sia chiaro, altrimenti chiedi pure!
Grazie. Si penso di avere capito. In questo caso il sottospazio è il nucleo dell'applicazione lineare e di conseguenza operiamo nel modo sopra citato.
Non capisco il tuo ragionamento, non so di che applicazione lineare parli. Di $L_a$ forse? In ogni caso mi limiterei a considerare il sottospazio e a osservare che la sua dimensione corrisponde al numero di parametri liberi, senza tirare in ballo definizioni aggiuntive.
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