Elementi invertibili

[eelisa94]

Ciao a tutti ragazzi! Mi sono imbattuta in questo esercizio che apparentemente mi era sembrato semplice, ma poi mi sono bloccata proprio sulla consegna :
"Si determinino gli elementi invertibili di Z_7 Si determini, se possibile, un elemento invertibile di Z_7 le cui potenze coincidono con tutti gli elementi invertibili di Z_7".

Per quanto riguarda gli elementi invertibili di Z_7: {1,2,3,4,5,6}, o sbaglio?
Ora, cosa vuol dire la seconda parte dell'esercizio? Come trovo il numero le cui potenze coincidono con tutti gli elementi invertibili, sempre se possibile individuralo?

Grazie mille in anticipo, Elisa

[stormy1]

ad esempio,
$ bar(3)^2=bar(2);bar(3)^3=bar(6);bar(3)^4=bar(4);bar(3)^5=bar(5);bar(3)^6=bar(1) $
quindi $ bar(3) $ genera tutti gli elementi invertibili(rispetto alla moltiplicazione) di $mathbbZ_7$
fai una rapida verifica sugli altri elementi

[Epimenide93]

C'è un teorema che ti dice (indico con \( \lvert \cdot \rvert \) l'ordine di un elemento nel gruppo e con \((c,d)\) il massimo comune divisore di \(c\) e \(d\)) che in \( \mathbb{Z}_n \) vale \( \lvert [ a ] \rvert = \lvert [ (a,n) ] \rvert \).

[eelisa94]

"stormy":ad esempio,
$ bar(3)^2=bar(2);bar(3)^3=bar(6);bar(3)^4=bar(4);bar(3)^5=bar(5);bar(3)^6=bar(1) $
quindi $ bar(3) $ genera tutti gli elementi invertibili(rispetto alla moltiplicazione) di $mathbbZ_7$
fai una rapida verifica sugli altri elementi

Grazie!! Solo una cosa: mi potresti spiegare il ragionamento?

[stormy1]

eh,ma non è che ci sia molto da spiegare
essendo gli elementi papabili appena 5 (l'elementro neutro è fuori discussione) si può anche risolvere empiricamente, provando per ognuno quello che fatto per $ bar(3) $
ad esempio, $ bar(6) $ non va bene perchè $ bar(6)^2=bar(1) $ e quindi continuando con le potenze si ottengono sempre gli stessi 2 elementi