Sistema lineare al variare di un parametro, calcolo di un vettore soluzione,aggiunta di 1 variabile
Salve mi ritrovo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con una variabile k, il problema mi chiede di trovare le soluzioni.
Procedimento: trovo la matrice a scala della matrice associata al sistema.
Vedo per quali valori di k rg(A) $ != $ rg(A|b), in questo caso nessuna soluzione;
Per rg(A)=rg(A|b), se ho tanti pivot quante incognite, ho una soluzione, altrimenti mi calcolo le infinite soluzioni al variare di un parametro che prende il posto del valore mancante(cioe se ho 2 equazione nelle variabili (x,y,z) e l equazione di z non esiste, pongo z = z) ditemi se è tutto corretto.
calcolare se esistono vettori (x,y,z) che siano soluzioni del sistema per ogni k: come?
infine mi chiede di interpretare il sistema , come un sistema nelle 4 incognite x,y,z,t:
esattamente cosa dovrei fare? aggiungere una riga e una colonna entrambe nulle nella matrice del sistema?
Procedimento: trovo la matrice a scala della matrice associata al sistema.
Vedo per quali valori di k rg(A) $ != $ rg(A|b), in questo caso nessuna soluzione;
Per rg(A)=rg(A|b), se ho tanti pivot quante incognite, ho una soluzione, altrimenti mi calcolo le infinite soluzioni al variare di un parametro che prende il posto del valore mancante(cioe se ho 2 equazione nelle variabili (x,y,z) e l equazione di z non esiste, pongo z = z) ditemi se è tutto corretto.
calcolare se esistono vettori (x,y,z) che siano soluzioni del sistema per ogni k: come?
infine mi chiede di interpretare il sistema , come un sistema nelle 4 incognite x,y,z,t:
esattamente cosa dovrei fare? aggiungere una riga e una colonna entrambe nulle nella matrice del sistema?
Risposte
Per quanto riguarda la soluzione per tutti i $k$, in primis devi provare che il sistema è compatibile per ogni $k$ e poi, cercando una soluzione particolare, ne devi trovare una non in dipendenza da $k$. Sarebbe più facile se postassi il problema nella sua interezza, testo compreso...
Per le quattro incognite: magari vuole intendere la $k$ come quarta incognita, ma senza il testo è difficile dirlo.
Per le quattro incognite: magari vuole intendere la $k$ come quarta incognita, ma senza il testo è difficile dirlo.
${(x + y + z = 0),
(x + y + kz = 1 − k),
(kx + (4 − k)y + kz = 1):}$
per k=1 $oo$ soluzioni ${(x=-(1/2+a)),(y=1/2),(z=a):}$
per k=2 nessuna soluzione
per k $!=$ 1,2 ${ (x=(3-2k)/(4-2k) ),(y=1/(4-2k) ),(z=-1):}$
adesso mi chiede di interpretarlo come sistema di 4 incognite: se mi puoi dire esattamente come scriverlo.
per quanto riguarda i vettori di soluzione per ogni k si tratta di quest'altro sistema
${(x+y=1),(x + (3k + 1)y + (2k + 1)z = 5k + 2),((3k)y + (4 + k)z = 4 + 4k):}$
(x + y + kz = 1 − k),
(kx + (4 − k)y + kz = 1):}$
per k=1 $oo$ soluzioni ${(x=-(1/2+a)),(y=1/2),(z=a):}$
per k=2 nessuna soluzione
per k $!=$ 1,2 ${ (x=(3-2k)/(4-2k) ),(y=1/(4-2k) ),(z=-1):}$
adesso mi chiede di interpretarlo come sistema di 4 incognite: se mi puoi dire esattamente come scriverlo.
per quanto riguarda i vettori di soluzione per ogni k si tratta di quest'altro sistema
${(x+y=1),(x + (3k + 1)y + (2k + 1)z = 5k + 2),((3k)y + (4 + k)z = 4 + 4k):}$
L'ultimo, quello che chiede la soluzione per ogni $k$, hai provato a risolverlo? E' molto semplice...
Per quanto riguarda l'altro invece non capisco cosa intenda, aspetterei l'aiuto di qualcuno più qualificato
Per quanto riguarda l'altro invece non capisco cosa intenda, aspetterei l'aiuto di qualcuno più qualificato
non ho capito se per calcolare il vettore soluzione devo semplicemente risolvere il sistema tenendo la k nelle soluzioni?
che dovrebbero essere ${(x=1),(y=1),(z=1)}$
che dovrebbero essere ${(x=1),(y=1),(z=1)}$
Se provi, ti accorgi subito che, tenendo la $k$ e portando avanti i calcoli, quest'ultima scompare, lasciandoti una soluzione generale.
ma nel caso fosse rimasta la K, quelle sarebbero le soluzioni con il paramentro K, oppure devo studiare le soluzioni al variare di k, o significa che non ci sono vettori soluzione?
Quelle sarebbero le soluzioni ma al variare di un parametro libero, $k$ appunto. Sono di carattere generale se non dipendono da quale $k$ si scelga, come in questo caso.
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