Teorema Spettrale, Matrici di Passaggio, Base Ortonormale. Non riesco a Capire!
Salve a tutti.
A breve dovrò dare l'esame orale di Geometria 2, nell'ambito dell'algebra lineare non riesco a fare propriamente mia la relazione che sussiste esattamente tra "base ortonormale di autovettori di un endomorfismo autoaggiunto e la sua capacità di diagonalizzare l'endormofismo"
Cioè io so che se ho una base di autovettori $[v_1,......,v_n]$ allora se $T:V->V$ è l'endomorfismo si ha $T(v) = \lambda v_i$ $i = 1,....,n$ e la matrice associata $A$ è diagonale. Pertanto basterebbe trovare una base di autovettori per diagonalizzare la matrice associata a $T$. Perchè quindi cerchiamo (ci assicuriamo l'esistenza) una base ortonormale di autovettori tramite il Teorema Spettrale? (E' vero che posso ortonormalizzare ogni base ma perchè lo scrviamo nel teorema?).
Ma se vogliamo non è neanche quello il problema, il problema è capire che relazione c'è tra la base di autovettori e il fatto che esiste una matrice invertibile chiamata $N$ $:$ $N^-1AN$ è diagonale. Perchè devo utilizzare una matrice per diagonalizzare $A$, se la mia base di autovettori la diagonalizza direttamente?.
Non riesco ad afferrare pienamente il concetto.
Magari un qualche semplice esempio in $R^(2,2)$, vorrei dominare questo passaggio, queste relazioni, in vista dell'esame ma non riesco ad afferrarlo completamente, mi sfugge sempre qualcosa e la cosa sta diventando frustrante.
Grazie in anticipo a tutti quelli che vorranno aiutarmi a capire.
Emanuele
A breve dovrò dare l'esame orale di Geometria 2, nell'ambito dell'algebra lineare non riesco a fare propriamente mia la relazione che sussiste esattamente tra "base ortonormale di autovettori di un endomorfismo autoaggiunto e la sua capacità di diagonalizzare l'endormofismo"
Cioè io so che se ho una base di autovettori $[v_1,......,v_n]$ allora se $T:V->V$ è l'endomorfismo si ha $T(v) = \lambda v_i$ $i = 1,....,n$ e la matrice associata $A$ è diagonale. Pertanto basterebbe trovare una base di autovettori per diagonalizzare la matrice associata a $T$. Perchè quindi cerchiamo (ci assicuriamo l'esistenza) una base ortonormale di autovettori tramite il Teorema Spettrale? (E' vero che posso ortonormalizzare ogni base ma perchè lo scrviamo nel teorema?).
Ma se vogliamo non è neanche quello il problema, il problema è capire che relazione c'è tra la base di autovettori e il fatto che esiste una matrice invertibile chiamata $N$ $:$ $N^-1AN$ è diagonale. Perchè devo utilizzare una matrice per diagonalizzare $A$, se la mia base di autovettori la diagonalizza direttamente?.
Non riesco ad afferrare pienamente il concetto.
Magari un qualche semplice esempio in $R^(2,2)$, vorrei dominare questo passaggio, queste relazioni, in vista dell'esame ma non riesco ad afferrarlo completamente, mi sfugge sempre qualcosa e la cosa sta diventando frustrante.
Grazie in anticipo a tutti quelli che vorranno aiutarmi a capire.
Emanuele
Risposte
Non c'è differenza tra dire che esiste una base di autovettori e dire che una matrice invertibile $N$ diagonalizza la matrice $A$. Come mai? La matrice $N$ è la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base di autovettori.
La matrice $A$ rappresenta l'endomorfismo, quindi cambiare base all'endomorfismo significa comporre automorfismo $f$ e un altro endomorfismo unitario che manda ciascun vettore espresso rispetto alla base standard nel suo corrispettivo ma espresso nella base di autovettori. Ma sappiamo che la composizione di due endomorfismi si rappresenta con la moltiplicazione di matrici.
Perché moltiplicare sia da una parte che dall'altra? Perché altrimenti cambieremmo la base di uno solo degli spazi, quello di partenza o quello di arrivo. Altrimenti otterremmo ad esempio un endomorfismo da $RR^3$ in sé stesso con basi diverse.
Spero sia abbastanza chiaro!
P.s. Questo in geometria 2? Che CdL frequenti?
La matrice $A$ rappresenta l'endomorfismo, quindi cambiare base all'endomorfismo significa comporre automorfismo $f$ e un altro endomorfismo unitario che manda ciascun vettore espresso rispetto alla base standard nel suo corrispettivo ma espresso nella base di autovettori. Ma sappiamo che la composizione di due endomorfismi si rappresenta con la moltiplicazione di matrici.
Perché moltiplicare sia da una parte che dall'altra? Perché altrimenti cambieremmo la base di uno solo degli spazi, quello di partenza o quello di arrivo. Altrimenti otterremmo ad esempio un endomorfismo da $RR^3$ in sé stesso con basi diverse.
Spero sia abbastanza chiaro!
P.s. Questo in geometria 2? Che CdL frequenti?
"Frink":
Non c'è differenza tra dire che esiste una base di autovettori e dire che una matrice invertibile $N$ diagonalizza la matrice $A$. Come mai? La matrice $N$ è la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base di autovettori.
La matrice $A$ rappresenta l'endomorfismo, quindi cambiare base all'endomorfismo significa comporre automorfismo $f$ e un altro endomorfismo unitario che manda ciascun vettore espresso rispetto alla base standard nel suo corrispettivo ma espresso nella base di autovettori. Ma sappiamo che la composizione di due endomorfismi si rappresenta con la moltiplicazione di matrici.
Perché moltiplicare sia da una parte che dall'altra? Perché altrimenti cambieremmo la base di uno solo degli spazi, quello di partenza o quello di arrivo. Altrimenti otterremmo ad esempio un endomorfismo da $RR^3$ in sé stesso con basi diverse.
Spero sia abbastanza chiaro!
P.s. Questo in geometria 2? Che CdL frequenti?
Intanto grazie. Ieri sera poi ho capito meglio la relazione. Si infatti è la matrice di cambiamento di base. (La cosa strana è che nel mio libro effettua un cambiamento di base dalla base ortonormale di autovettori alla base canonica, per dimostrare che $N^-1 = N^t$. Mentre in un'altro libro ho esattamente il contrario che mi sembra più logico. Come tra l'altro affermi tu.
Infatti essendo $N^-1$ formata da colonne di autovettori con normalizzati siamo di fronte ad una matrice unitaria se in $C$ o ortogonale se in $R$ e pertanto vale la relazione $A^-1 = A^t$ se in $R$
Si è Geometria 2, che praticamente comincia dal Teorema Spettrale e finisce alle Ipersufperici negli spazi Proiettivi ed Affini e le Curve. Infatti alcuni dubbi mi vengono proprio dal fatto che i concetti per capire bene il Teorema Spettrale sono in Geometria 1. Cmq corso di laurea in Matematica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo