Sfera contenente circonferenza(esercizio)
salve a tutti,immagino sarete bombardati da messaggi per ora che è periodo d'esami 
tornando a noi sto cercando di risolvere questo esercizio "Fissato nello spazio affine euclideo usuale E^3 un riferimento cartesiano RC(O,x,y,z),si scriva una equazione cartesiana della sfera S\subset E^3 contenente la sfera \Gamma :\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+z^2-1=0 \\
x+2y+2z-2=0
\end{matrix}\right.
e tangente all'asse z."
la sfera data non è già una sfera che contiene la circonferenza \Gamma ? nel mio ragionamento penso si possa usare come punto di partenza,o no? e poi imporre in un secondo momento la tangenza a z,sostituendo all'equazione della sfera ''generica'' l'equazione dell'asse z,non abbiate pietà se dico eresie però non so,spero che abbiate un po di pazienza 
tornando a noi sto cercando di risolvere questo esercizio "Fissato nello spazio affine euclideo usuale E^3 un riferimento cartesiano RC(O,x,y,z),si scriva una equazione cartesiana della sfera S\subset E^3 contenente la sfera \Gamma :\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2-1=0 \\
x+2y+2z-2=0
\end{matrix}\right.
e tangente all'asse z."
la sfera data non è già una sfera che contiene la circonferenza \Gamma ? nel mio ragionamento penso si possa usare come punto di partenza,o no? e poi imporre in un secondo momento la tangenza a z,sostituendo all'equazione della sfera ''generica'' l'equazione dell'asse z,non abbiate pietà se dico eresie
però non so,spero che abbiate un po di pazienza
Risposte
Le sfere che contengono la circonferenza data formano un fascio la cui equazione è :
(1) $\lambda ( x^2+y^2+z^2-1)+\mu(x+2y+2z-2 ) =0$
La tangenza all'asse z richiede che il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \lambda(x^2+y^2+z^2-1)+\mu(x+2y+2z-2)=0\\x=0\\y=0\end{cases} \)
abbia una soluzione doppia. Questo significa che l'equazione risultante :
$\lambda z^2+2\mu z-(\lambda+2\mu)=0$
abbia discriminante nullo :
$\mu^2+\lambda(\lambda+2\mu)=0$ da cui $\mu=-\lambda$
Sostituendo nella (1), con qualche semplificazione di ricava l'equazione della sfera richiesta:
$x^2+y^2+z^2-x-2y-2z+1=0$
(1) $\lambda ( x^2+y^2+z^2-1)+\mu(x+2y+2z-2 ) =0$
La tangenza all'asse z richiede che il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \lambda(x^2+y^2+z^2-1)+\mu(x+2y+2z-2)=0\\x=0\\y=0\end{cases} \)
abbia una soluzione doppia. Questo significa che l'equazione risultante :
$\lambda z^2+2\mu z-(\lambda+2\mu)=0$
abbia discriminante nullo :
$\mu^2+\lambda(\lambda+2\mu)=0$ da cui $\mu=-\lambda$
Sostituendo nella (1), con qualche semplificazione di ricava l'equazione della sfera richiesta:
$x^2+y^2+z^2-x-2y-2z+1=0$
Cito (sistemando) quanto hai scritto perchè ci sono un po'di problemi con le formule.
Forse non capisco cosa sia \(\Gamma\). Hai riportato un'intersezione di una circonferenza e un piano... Non mi trovo
"radicestorta":
"Fissato nello spazio affine euclideo usuale \(E^3\) un riferimento cartesiano \(RC(O,x,y,z)\),si scriva una equazione cartesiana della sfera \(S\subset E^3\) contenente la sfera \(\Gamma :\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+z^2-1=0 \\
x+2y+2z-2=0
\end{matrix}\right\}\).
e tangente all'asse \(z\)."
Forse non capisco cosa sia \(\Gamma\). Hai riportato un'intersezione di una circonferenza e un piano... Non mi trovo
$Gamma$ è l'intersezione di una sfera e di un piano e quindi è una circonferenza
una qualsiasi sfera passante per $Gamma$ ha un'equazione del tipo
$x^2+y^2+z^2-1+lambda(x+2y+2z-2)=0 $(*)
se essa deve essere tangente all'asse z,il sistema formato dall'equazione (*) e dalle equazioni $x=0;y=0$ deve avere un'unica soluzione
dal sistema si ottiene l'equazione $z^2+2lambdaz-1-2lambda=0$
imponendo che il suo $Delta$ sia uguale a zero si ottiene il valore $lambda=-1$
una qualsiasi sfera passante per $Gamma$ ha un'equazione del tipo
$x^2+y^2+z^2-1+lambda(x+2y+2z-2)=0 $(*)
se essa deve essere tangente all'asse z,il sistema formato dall'equazione (*) e dalle equazioni $x=0;y=0$ deve avere un'unica soluzione
dal sistema si ottiene l'equazione $z^2+2lambdaz-1-2lambda=0$
imponendo che il suo $Delta$ sia uguale a zero si ottiene il valore $lambda=-1$
scusate ancora il casino coi simboli non so perchè mi sia venuto cosi 
comunque grazie mille a stormy alla fine bastava ragionare un attimo e pensare che la sfera cercata sia ''proporzionale'' per cosi dire a quella data,grazie ancora e buon lavoro qui sul forum
comunque grazie mille a stormy alla fine bastava ragionare un attimo e pensare che la sfera cercata sia ''proporzionale'' per cosi dire a quella data,grazie ancora e buon lavoro qui sul forum
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