Operatore lineare e spazio vettoriale
Devo iniziare chimica fisica 2 il cui argomento ruota attorno alla meccanica quantistica.
Abbiamo fatto la teoria dei gruppi e iniziato l'eq di schrodinger ma nella trattazione di questi argomenti sono apparsi piu e piu e piu volte i concetti di spazio vettoriale e operatore lineare(ad esempio l'operatore hamiltoniano)
Ora purtroppo non ho fatto questi concetti gran che bene e sono un po' in difficoltà.
Volevo sapere se qualcuno disponibile potesse dirmi in modo semplice cosa si intende per operatore lineare e spazio vettoriale.
Cioè la definizione matematica è data dal fatto che uno spazio vettoriale è un particolare ente che gode di due proprietà: una di somma e una di moltiplicazione...
però mentalmente o meglio geometricamente posso immaginarmi in qualche modo uno spazio vettoriale? e per quanto riguarda un operatore lineare applicato a un vettore di uno spazio vettoriale come posso immaginarmelo?
grazie!1
Abbiamo fatto la teoria dei gruppi e iniziato l'eq di schrodinger ma nella trattazione di questi argomenti sono apparsi piu e piu e piu volte i concetti di spazio vettoriale e operatore lineare(ad esempio l'operatore hamiltoniano)
Ora purtroppo non ho fatto questi concetti gran che bene e sono un po' in difficoltà.
Volevo sapere se qualcuno disponibile potesse dirmi in modo semplice cosa si intende per operatore lineare e spazio vettoriale.
Cioè la definizione matematica è data dal fatto che uno spazio vettoriale è un particolare ente che gode di due proprietà: una di somma e una di moltiplicazione...
però mentalmente o meglio geometricamente posso immaginarmi in qualche modo uno spazio vettoriale? e per quanto riguarda un operatore lineare applicato a un vettore di uno spazio vettoriale come posso immaginarmelo?
grazie!1
Risposte
Procediamo con ordine, diamo d'apprima le definizioni per poi procedere con qualche esempio.
Def (Spazio Vettoriale)
Sia $(V,+)$ un gruppo abeliano. Sia $\mathbb{K}$ un Campo. Sia pure $* : \mathbb{K} \times V \rightarrow V$.
SE $*$ soddisfa :
1) $\lambda*(v+w)=\lambda*v+\lambda*w$ , $\forall \lambda \in \mathbb{K} , v,w \in V$
2) $(\lambda \mu)*v = \lambda*(\mu*v)$ (Dove $\lambda \mu$ si intende il prodotto di $\mathbb{K}$.) , $\forall \lambda , \mu \in \mathbb{K} , v \in V$
3) $(\lambda + \mu)*v = \lambda*v+\mu*v$ , $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall v \in V$
4) $1*v=v$ , $forall v \in V$.
La terna $(V,+,*)$ viene chiamata spazio vettoriale su $\mathbb{K}$, o più semplicemente si dirà che $V$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$, se note le operazioni in gioco o se possiamo riferisci a un dato spazio senza ambiguità.
Gli elementi di $V$ vengono chiamati "vettori", gli elementi di $\mathbb{K}$ "scalari".
La $+$ viene comunemente chiamata somma di vettori, $*$ prodotto di scalare per vettore.
Def (Mappa Lineare o Operatore Lineare)
Siano $(V,+_1,*_1) $ , $(W,+_2,*_2)$ due spazi vettoriali su $\mathbb{K}$. Un'applicazione $\phi : V -> W$ è lineare se $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K} , \forall v,w \in V : \phi(\alpha*_1v+\beta*_1w)=\alpha*_2\phi(v)+\beta*_2phi(v)$.
In pratica è un'applicazione che conserva la struttura di spazio vettoriale, in altri termini un omomorfismo tra spazi vettoriali. ( Concetto analogo a quello che hai incontrato studiando la teoria dei gruppi.)
Osserva che una mappa lineare è in particolare un omomorfismo di gruppi $(V,+_1)$ , $(W,+_2)$. (Scegli nella definizione $\alpha=\beta=1$ ).
Se bigettiva, $\phi$ prende il nome di isomorfismo tra $V$ e $W$.
Quest'ultimi sono particolarmente importanti perché ci permettono di "partizionare" l'insieme degli spazi vettoriali in "classi di isomorfismo".
Veniamo agli esempi..
L'esempio più concreto che ti possa venire in mente è pensare allo spazio dei vettori geometrici, bi e tridimensionali. Quello è uno spazio vettoriale su $RR$ ad esempio.
$RR$ è uno spazio vettoriale su se stesso.Più in generale $RR^n$ è uno spazio vettoriale reale.
Puoi pensare anche all'insieme delle matrici $M_{n,m}(\mathbb{K})$ può essere munito di struttura di spazio vettoriale..
Infatti è un gruppo con l'usuale somma tra matrici e il prodotto esterno che si definisce è comunemente il seguente
$\lambda * A = ( \lambda a^i_j)$. Questo è un $\mathbb{K}$ spazio.
Di esempi ve ne sono un sacco, per ulteriori approfondimenti ti rimando qui : http://www.dmmm.uniroma1.it/~alessandro ... te%204.pdf .
Ciao
Def (Spazio Vettoriale)
Sia $(V,+)$ un gruppo abeliano. Sia $\mathbb{K}$ un Campo. Sia pure $* : \mathbb{K} \times V \rightarrow V$.
SE $*$ soddisfa :
1) $\lambda*(v+w)=\lambda*v+\lambda*w$ , $\forall \lambda \in \mathbb{K} , v,w \in V$
2) $(\lambda \mu)*v = \lambda*(\mu*v)$ (Dove $\lambda \mu$ si intende il prodotto di $\mathbb{K}$.) , $\forall \lambda , \mu \in \mathbb{K} , v \in V$
3) $(\lambda + \mu)*v = \lambda*v+\mu*v$ , $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall v \in V$
4) $1*v=v$ , $forall v \in V$.
La terna $(V,+,*)$ viene chiamata spazio vettoriale su $\mathbb{K}$, o più semplicemente si dirà che $V$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$, se note le operazioni in gioco o se possiamo riferisci a un dato spazio senza ambiguità.
Gli elementi di $V$ vengono chiamati "vettori", gli elementi di $\mathbb{K}$ "scalari".
La $+$ viene comunemente chiamata somma di vettori, $*$ prodotto di scalare per vettore.
Def (Mappa Lineare o Operatore Lineare)
Siano $(V,+_1,*_1) $ , $(W,+_2,*_2)$ due spazi vettoriali su $\mathbb{K}$. Un'applicazione $\phi : V -> W$ è lineare se $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K} , \forall v,w \in V : \phi(\alpha*_1v+\beta*_1w)=\alpha*_2\phi(v)+\beta*_2phi(v)$.
In pratica è un'applicazione che conserva la struttura di spazio vettoriale, in altri termini un omomorfismo tra spazi vettoriali. ( Concetto analogo a quello che hai incontrato studiando la teoria dei gruppi.)
Osserva che una mappa lineare è in particolare un omomorfismo di gruppi $(V,+_1)$ , $(W,+_2)$. (Scegli nella definizione $\alpha=\beta=1$ ).
Se bigettiva, $\phi$ prende il nome di isomorfismo tra $V$ e $W$.
Quest'ultimi sono particolarmente importanti perché ci permettono di "partizionare" l'insieme degli spazi vettoriali in "classi di isomorfismo".
Veniamo agli esempi..
L'esempio più concreto che ti possa venire in mente è pensare allo spazio dei vettori geometrici, bi e tridimensionali. Quello è uno spazio vettoriale su $RR$ ad esempio.
$RR$ è uno spazio vettoriale su se stesso.Più in generale $RR^n$ è uno spazio vettoriale reale.
Puoi pensare anche all'insieme delle matrici $M_{n,m}(\mathbb{K})$ può essere munito di struttura di spazio vettoriale..
Infatti è un gruppo con l'usuale somma tra matrici e il prodotto esterno che si definisce è comunemente il seguente
$\lambda * A = ( \lambda a^i_j)$. Questo è un $\mathbb{K}$ spazio.
Di esempi ve ne sono un sacco, per ulteriori approfondimenti ti rimando qui : http://www.dmmm.uniroma1.it/~alessandro ... te%204.pdf .
Ciao
"Kashaman":
Se bigettiva, $\phi$ prende il nome di isomorfismo tra $V$ e $W$.
aggiungo solo
\(_{1^\circ}\) : - se ingettiva, \(\phi\) prende il nome di monomorfismo tra \( V \) e \( W \)
- se surgettiva, \(\phi\) prende il nome di epimorfismo tra \( V \) e \( W \)
- se \( V=W \), \(\phi\) prende il nome di endomorfismo di \( V \)
- se \( V=W \) e \(\phi\) è bigettiva, \(\phi\) prende il nome di automorfismo di \(V\)
"Kashaman":
Def (Mappa Lineare o Operatore Lineare)
Siano $(V,+_1,*_1) $ , $(W,+_2,*_2)$ due spazi vettoriali su $\mathbb{K}$. Un'applicazione $\phi : V -> W$ è lineare se $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K} , \forall v,w \in V : \phi(\alpha*_1v+\beta*_1w)=\alpha*_2\phi(v)+\beta*_2phi(v)$.
aggiungo solo
\(_{2^\circ}\):Prop.:
Siano $(V,+_1,*_1) $ , $(W,+_2,*_2)$ due spazi vettoriali su $\mathbb{K}$. Un'applicazione $\phi : V -> W$ è lineare se e solo se \(\forall v,w \in V : \phi(v+_1w)=\phi(v)+_2\phi(w)\)
\(\forall v \in V, \alpha \in \mathbb{K} :\phi(\alpha \cdot_1 v)=\alpha \cdot_2\phi(v)\)
ciao Kashaman
ci pensero su!
grazie ad entrambi!
grazie ad entrambi!
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