Prodotto scalare standard e non

[andrea.corzino]

Ciao.

Ho deciso di approfondire per conto mio alcuni concetti base dell'algebra lineare ,trattati solo in modo base nel mio corso universitario.


La definizione che mi è stata data di prodotto scalare è : $ x* y=(x1y1+x2y2+...+xnyn) $

ora leggendo su un libro piu approfondito sento parlare di un prodotto scalare standard e di uno non standard,

Ora vorrei capire qual è la differenza tra i due in termini di formula generale.

Ad esempio oltre alla sopra definizione di prodotto scalare ne trovo un altra del tipo:

Consideriamo uno spazio vettoriale di dimensione finita,dotato di prodotto scalare. Fissata una base e1,e2...en calcoliamo il prodotto scalare di due vettori

$ u=sum^(i =1 \ldotsn)ui*ei $
$ v=sum^(j =1 \ldotsn)vj*ej $

applicando le properietà del prodotto scalare si ha:

$ u*v=(sum^(i =1 \ldotsn)ui*ei)*(sum^(j =1 \ldotsn)vj*ej)=sum^(j,i =1 \ldotsn) (uivj) ei*ej$ .

Insomma introduce un prodotto scalare nel quale si moltiplicano tra loro anche i rispettivi vettori base. (solitamente in quello stantdard ero abituato solo a considerare le rispettive componenti)

Inoltre poi dice che tale calcolo risulta particolarmente comodo quando gli n VETTORI della BASE risultano ORTONORMALI ossia:

$ ei*ej=0 > > > i!= j $
$ || ei|| ^2 = ei*ei > > > i=1...n $

Una tale base gioca un ruolo fondamentale nello studio degli spazi con prodotto scalare in quanto in tal caso il prodotto scalare si riduce a:

$ u*v=(sum^(i =1 \ldotsn)ui*ei)*(sum^(j =1 \ldotsn) vj*ej)=sum^(i =1 \ldotsn) ui*vi $

insomma quel prodotto scalare(a me non noto) in cui comparivano sia le componenti dei due vettori che le loro basi viene rimpiazzato dalla formula del prodotto scalare a me noto,dove si fa la sommatoria del prodotto delle sole componenti rispettive.

Ora il mio dubbio è: il prodotto scalare come lo conoscevo(sommatoria del prodotto delle rispettive componenti)costituisce un caso particolare di prodotto scalare in cui le basi mediante le quali i vettori sono espresse sono ORTONORMALI?

E perciò se mi chiedessero di eseguire un prodotto scalare tra due vettori di R^2 espressi mediante una BASE diversa da quella ortonormale che considero sempre E=(e1,e2) mi pare che non possa usare quell'ultima formula semplificata(somma del prodotto delle rispettive componenti) giusto? dovrei ortonormalizzare i vettori base? oppure considerare anche i vettori base come succede nella formula piu generale.?

GRAZIE

[Epimenide93]

Studia le forme bilineari da un buon testo, è tutto lì. A parlarne in breve si fa solo confusione. L'idea di fondo è che fissata una base qualsiasi matrice simmetrica/hermitiana \(A\) definita positiva induce un prodotto scalare \(\langle x, y \rangle_A = x^\top A y\). Quello che viene detto standard è quello indotto dalla matrice identità. Dietro a questo fatto c'è un bel po' di teoria e ce n'è altrettanta a volerne studiare le conseguenze (tra le quali sono presenti anche le risposte alle tue domande). I riferimenti introduttivi standard per l'argomento sono i testi Geometria 1 di Sernesi e Algebra Lineare di Lang.

So di non aver risposto, e me ne scuso, ma è veramente impossibile dare una spiegazione decente del fenomeno nella lunghezza di un post su un forum, anche di quelli estremamente lunghi.