Spettro e diagonale di matrici hermitiane
Data una matrice hermitiana $A$ la somma dei suoi autovalori coincide con la traccia.
Ho provato a dimostrare questo fatto, ad esempio passando per una decomposizione spettrale di A, ma non sono riuscito a concludere.
Qualcuno ne ha in mente una dimostrazione?
Ho provato a dimostrare questo fatto, ad esempio passando per una decomposizione spettrale di A, ma non sono riuscito a concludere.
Qualcuno ne ha in mente una dimostrazione?
Risposte
Ti do un suggerimento: considera il polinomio caratteristico e poniti questa domanda "la somma delle sue radici è collegata ad uno dei coefficienti di tale polinomio? Se sì, quale?"
P.S.: se con il caso $n$ generico non ne vieni fuori, analizza il caso $n=2$ e $n=3$ prima, per fartene un'idea.
P.S.: se con il caso $n$ generico non ne vieni fuori, analizza il caso $n=2$ e $n=3$ prima, per fartene un'idea.
Supponiamo che $A\inM_n(CC)$.
Allora so che il polinomio caratteristico di $A$ è $(-1)^nx^n+(-1)^(n-1)Tr(A)x^(n-1)+...+det(A)$.
Nel caso di polinomi di secondo grado so anche che la somma delle radici del polinomio $x^2+ax+b$ è $-a$.
Dunque deduco che per $n=2$ è sempre vero che la somma degli autovalori coincide con la traccia (non solo per le matrici hermitiane ma per tutte le matrici quadrate).
Quindi in generale mi chiedo, è sempre vero che la somma delle radici di un polinomio (eventualmente monico) di grado $n$ coincide con l'opposto del coefficiente relativo al termine di grado $n-1$?
Se così fosse, la proprietà che ho enunciato varrebbe più in generale per tutte le matrici quadrate e non solo per quelle hermitiane.
Allora so che il polinomio caratteristico di $A$ è $(-1)^nx^n+(-1)^(n-1)Tr(A)x^(n-1)+...+det(A)$.
Nel caso di polinomi di secondo grado so anche che la somma delle radici del polinomio $x^2+ax+b$ è $-a$.
Dunque deduco che per $n=2$ è sempre vero che la somma degli autovalori coincide con la traccia (non solo per le matrici hermitiane ma per tutte le matrici quadrate).
Quindi in generale mi chiedo, è sempre vero che la somma delle radici di un polinomio (eventualmente monico) di grado $n$ coincide con l'opposto del coefficiente relativo al termine di grado $n-1$?
Se così fosse, la proprietà che ho enunciato varrebbe più in generale per tutte le matrici quadrate e non solo per quelle hermitiane.
E' abbastanza facile dimostrare che questa cosa è vera: considera che se $\lambda_i,\ i=1,\ldots,n$ sono gli autovalori (alcuni possono essere ripetuti) allora il polinomio caratteristico si decompone nel prodotto
$$(t-\lambda_1)\cdot(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_n)$$
Ora, sei in grado di dimostrare che il coefficiente del termine di grado $n-1$ è proprio la somma degli autovalori moltiplicata per $(-1)^{n-1}$?
P.S.: no, questa cosa è vera per matrici hermitiane in quanto sei sicuro (per due motivi... quali?) che ci sono esattamente $n$ autovalori contati con la loro molteplicità. In linea generale, non è detto che ciò sia possibile.
$$(t-\lambda_1)\cdot(t-\lambda_2)\cdots(t-\lambda_n)$$
Ora, sei in grado di dimostrare che il coefficiente del termine di grado $n-1$ è proprio la somma degli autovalori moltiplicata per $(-1)^{n-1}$?
P.S.: no, questa cosa è vera per matrici hermitiane in quanto sei sicuro (per due motivi... quali?) che ci sono esattamente $n$ autovalori contati con la loro molteplicità. In linea generale, non è detto che ciò sia possibile.
I termini di grado $n-1$ del polinomio caratteristico sono i $-lambda_i*t^(n-1)$, $i=1,...,n$, dunque mi torna a meno del segno...
Giustamente come dici tu le matrici hermitiane sono normali e quindi unitariamente diagonalizzabili (per il teorema spettrale), quindi in particolare sono diagonalizzabili e dunque hanno $n$ autovalori contati con la loro molteplicità.
L'altro motivo in questo momento mi sfugge...potrebbe essere il fatto che tutti i suoi autovalori sono reali e quindi anche le matrici reali hermitiane (simmetriche) sono diagonalizzabili?
Giustamente come dici tu le matrici hermitiane sono normali e quindi unitariamente diagonalizzabili (per il teorema spettrale), quindi in particolare sono diagonalizzabili e dunque hanno $n$ autovalori contati con la loro molteplicità.
L'altro motivo in questo momento mi sfugge...potrebbe essere il fatto che tutti i suoi autovalori sono reali e quindi anche le matrici reali hermitiane (simmetriche) sono diagonalizzabili?
L'atro motivo è il teorema fondamentale dell'algebra: il polinomio caratteristico, essendo a coefficienti complessi, ammette esattamente $n$ radici su $CC$, per cui vale la decomposizione scritta prima. Comunque se fai bene i conti il coefficiente di $t^{n-1}$ è proprio $(-1)^n\cdot\sum_{j=1}^n \lambda_j$
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