Autovalori di somma di matrici

[Sk_Anonymous]

Ho provato a chiedere la stessa cosa nella sezione di Fisica, ma in effetti è più adatta la sezione di Geometria essendo questo un problema squisitamente di Algebra Lineare.
Problema:
Siano date $A=( ( a , 0 ),( 0 , -a ) )$ e $B=( ( 0 , b ),( b , 0 ) )$, trovare gli autovalori di $M=A+B$ in funzione degli autovalori di $A$ e $B$, ovvero senza diagonalizzare direttamente $M$.
Soluzione (incompleta):
Posso scrivere $A=aI$ (dove $I$ è la matrice identica), quindi banalmente ha autovalori $\pm a$ e autovettori $( (1 ),( 0) )$ e $( (0 ),( 1) )$.
Posso scrivere $B=b\sigma_z$ dove $\sigma_z$ è la terza matrice di Pauli. Dunque gli autovalori sono $\pm b$ e gli autovettori normalizzati sono (potrei anche diagonalizzarla direttamente se non mi ricordassi le matrici di Pauli) $1/{\sqrt(2)}( (1 ),( 1) )$ e $1/{\sqrt(2)}( (1 ),( -1) ) $. Non so più andare avanti...
Mi potreste dare un indizio? Non datemi però subito la soluzione, voglio provarci da solo!

[ciampax]

Calcola il polinomio caratteristico di $A+B$.

[dissonance]

Comunque \(A=aI\) è sbagliato, perché è \(A=a\sigma_3\) (o \(\sigma_1\) dipendendo dalla convenzione che adotti). Per l'indizio, non lo so proprio. Sento puzza di relazioni di commutazione ma non saprei dirti come applicarle.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Comunque \(A=aI\) è sbagliato, perché è \(A=a\sigma_3\) (o \(\sigma_1\) dipendendo dalla convenzione che adotti). Per l'indizio, non lo so proprio. Sento puzza di relazioni di commutazione ma non saprei dirti come applicarle.

Sì, scusa, avevo sbagliato a scrivere (tant'è che dopo ho fatto il calcolo giusto )...
Ho risolto, era abbastanza semplice, l'ho scritto in un post nella sezione di Fisica.

[dissonance]

Hai fatto un doppio post, allora. Non si potrebbe, almeno mettici un link all'altro topic:

viewtopic.php?f=19&t=137839&p=877192

Se uno è interessato e passa di qua almeno sa che se ne parla da un'altra parte.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Hai fatto un doppio post, allora. Non si potrebbe,

Lo ho scritto all'inizio, così se i moderatori ritenevano il proporre un problema di fisica "in salsa" di algebra lineare contrario al regolamento potevano cancellarlo. Non lo hanno fatto, quindi credo che vada bene.