Una sottigliezza sulla definizione di carta
Sia \( M \) uno spazio topologico. Alcune persone definiscono una carta su \( M \) come un omeomorfismo \( \phi\colon U\to V \) di un aperto \( U\subset M \) verso un aperto \( V\subset \mathbb R^n \); altre, chiamano "carta" semplicemente un embedding \( \phi\colon U\to \mathbb R^n \), dove \( U \) è sempre un aperto di \( M \) (un embedding è una funzione iniettiva che se ristretta in codominio all'immagine è anche un omeomorfismo).
Le due definizioni non sono equivalenti, vero? Perché se prendo \( X = \{x\} \) con la topologia banale e prendo \( \phi\colon U\to \mathbb R \) che spara \( x \) in \( 0 \), ho un embedding, ma la sua immagine dentro \( \mathbb R \) è chiusa.
Quale delle due è quella giusta (per fare geodiff)?
Le due definizioni non sono equivalenti, vero? Perché se prendo \( X = \{x\} \) con la topologia banale e prendo \( \phi\colon U\to \mathbb R \) che spara \( x \) in \( 0 \), ho un embedding, ma la sua immagine dentro \( \mathbb R \) è chiusa.
Quale delle due è quella giusta (per fare geodiff)?
Risposte
Ovviamente va bene la prima formulazione; la seconda è parecchio debole!
Esempio: Sia \(\displaystyle X=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}_{\geq0}\}\cup\{(x,\pm1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}_{>0}\}\), si consideri la topologia indotta da \(\displaystyle(\mathbb{R}^2,\mathcal{T}_{nat})\) su \(\displaystyle X\setminus\{(0,0)\}\) e si consideri come sistema fondamentale di intorni di \(\displaystyle(0,0)\) i seguenti insiemi:
\[
-a,b_{-1},b_{b+1}\in\mathbb{Q}_{>0},\,\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\},\\
\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\}\cup\{(x,+1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]0,b_{+1}[\},\\
\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\}\cup\{(x,-1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]0,b_{-1}[\}.
\]
Questo spazio topologico \(\displaystyle X\) ha tutti gli emeddings che si vuole in \(\displaystyle\mathbb{R}\), ma non è nemmeno una varietà topologica!
Esempio: Sia \(\displaystyle X=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}_{\geq0}\}\cup\{(x,\pm1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in\mathbb{R}_{>0}\}\), si consideri la topologia indotta da \(\displaystyle(\mathbb{R}^2,\mathcal{T}_{nat})\) su \(\displaystyle X\setminus\{(0,0)\}\) e si consideri come sistema fondamentale di intorni di \(\displaystyle(0,0)\) i seguenti insiemi:
\[
-a,b_{-1},b_{b+1}\in\mathbb{Q}_{>0},\,\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\},\\
\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\}\cup\{(x,+1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]0,b_{+1}[\},\\
\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]a,0]\}\cup\{(x,-1)\in\mathbb{R}^2\mid x\in]0,b_{-1}[\}.
\]
Questo spazio topologico \(\displaystyle X\) ha tutti gli emeddings che si vuole in \(\displaystyle\mathbb{R}\), ma non è nemmeno una varietà topologica!
Ciao. Riprendo un attimo questo thread per un'altra questione che probabilmente è abbastanza vuota.
Dato un insieme[1] \( M \), dico che due carte locali \( (U_1,\phi_1\colon U_1\to V_1\subset \mathbb R^n) \) e \( (U_2,\phi_2\colon U_2\to V_2\subset \mathbb R^n) \) sono compatibili se \( U_1\cap U_2 = \emptyset \), oppure se \( U_1\cap U_2\neq\emptyset \), gli insiemi \( \phi_1(U_1\cap U_2) \) e \( \phi_2(U_1\cap U_2) \) sono aperti, e le applicazioni \( \phi_2\circ{\phi_1^{-1}}{\restriction_{\phi_1(U_1\cap U_2)}}\colon \phi_1(U_1\cap U_2)\to V_1 \) e \( \phi_1\circ{\phi_2^{-1}}{\restriction_{\phi_2(U_1\cap U_2)}}\colon \phi_2(U_1\cap U_2)\to V_2 \) sono di classe \( C^\infty \). Chiamo atlante su \( M \) una collezione \( \mathscr A \) di carte locali compatibili tali che \( M = \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr A}U \). Dico che due atlanti \( \mathscr A_1 \) e \( \mathscr A_2 \) sono equivalenti se \( \mathscr A_1\cup \mathscr A_2 \) è ancora un atlante su \( M \).
È vero che se \( \mathscr A \) è un atlante su \( S \), se \( (U,\phi)\in \mathscr A \), e se \( U^\prime\subset U \), allora \( (U^\prime,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}}) \) è una carta compatibile con \( (U,\phi) \)? Mi sembra che siano verificate tutte le condizioni di compatibilità tranne per il fatto che potrebbe non essere vero che \( \phi(U^\prime) \) è aperto. È vero invece che se \( \mathscr S \) è l'atlante massimale generato da \( \mathscr A \) (cioè, \( \mathscr S \) è l'unione di tutti gli atlanti equivalenti ad \( \mathscr A \)), allora \( (U^\prime,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}})\in \mathscr S \)?
La domanda più soft è: è vero che una varietà è definita come un insieme + un atlante massimale esattamente perché un atlante massimale è chiuso per una classe di operazioni sensate sulle carte?
[1] Sì, quando ho inizialmente aperto questo thread credo di aver avuto in mente la definizione di varietà come "spazio di Huasdorff a base numerabile ecc.", ma ora mi è più comodo definire una varietà come un insieme tale che eccetera.
Dato un insieme[1] \( M \), dico che due carte locali \( (U_1,\phi_1\colon U_1\to V_1\subset \mathbb R^n) \) e \( (U_2,\phi_2\colon U_2\to V_2\subset \mathbb R^n) \) sono compatibili se \( U_1\cap U_2 = \emptyset \), oppure se \( U_1\cap U_2\neq\emptyset \), gli insiemi \( \phi_1(U_1\cap U_2) \) e \( \phi_2(U_1\cap U_2) \) sono aperti, e le applicazioni \( \phi_2\circ{\phi_1^{-1}}{\restriction_{\phi_1(U_1\cap U_2)}}\colon \phi_1(U_1\cap U_2)\to V_1 \) e \( \phi_1\circ{\phi_2^{-1}}{\restriction_{\phi_2(U_1\cap U_2)}}\colon \phi_2(U_1\cap U_2)\to V_2 \) sono di classe \( C^\infty \). Chiamo atlante su \( M \) una collezione \( \mathscr A \) di carte locali compatibili tali che \( M = \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr A}U \). Dico che due atlanti \( \mathscr A_1 \) e \( \mathscr A_2 \) sono equivalenti se \( \mathscr A_1\cup \mathscr A_2 \) è ancora un atlante su \( M \).
È vero che se \( \mathscr A \) è un atlante su \( S \), se \( (U,\phi)\in \mathscr A \), e se \( U^\prime\subset U \), allora \( (U^\prime,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}}) \) è una carta compatibile con \( (U,\phi) \)? Mi sembra che siano verificate tutte le condizioni di compatibilità tranne per il fatto che potrebbe non essere vero che \( \phi(U^\prime) \) è aperto. È vero invece che se \( \mathscr S \) è l'atlante massimale generato da \( \mathscr A \) (cioè, \( \mathscr S \) è l'unione di tutti gli atlanti equivalenti ad \( \mathscr A \)), allora \( (U^\prime,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}})\in \mathscr S \)?
La domanda più soft è: è vero che una varietà è definita come un insieme + un atlante massimale esattamente perché un atlante massimale è chiuso per una classe di operazioni sensate sulle carte?
[1] Sì, quando ho inizialmente aperto questo thread credo di aver avuto in mente la definizione di varietà come "spazio di Huasdorff a base numerabile ecc.", ma ora mi è più comodo definire una varietà come un insieme tale che eccetera.
Ho anche un'altra domanda.
Nella definizione di atlante, perdo effettivamente in generalità se considero gli interi \( n \) e \( k \) fissati? Vorrei dire che un atlante è un insieme di carte compatibili tutte a valori in \( \mathbb R^n \) (con \( n \) fissato in partenza) e tale che le funzioni di transizione siano tutte di classe \( C^k \) (con \( k \) fissato in partenza).
Mi sembra che la strada che si segue non sia questa. Mi sembra infatti che una varietà (liscia, \( C^\infty \)) venga definita "lasciando libero \( n \)", e che si dimostri in seguito che, se \( M \) è connessa, allora \( n \) è costante. Ma non sono sicuro di quest'ultima affermazione.
Nella definizione di atlante, perdo effettivamente in generalità se considero gli interi \( n \) e \( k \) fissati? Vorrei dire che un atlante è un insieme di carte compatibili tutte a valori in \( \mathbb R^n \) (con \( n \) fissato in partenza) e tale che le funzioni di transizione siano tutte di classe \( C^k \) (con \( k \) fissato in partenza).
Mi sembra che la strada che si segue non sia questa. Mi sembra infatti che una varietà (liscia, \( C^\infty \)) venga definita "lasciando libero \( n \)", e che si dimostri in seguito che, se \( M \) è connessa, allora \( n \) è costante. Ma non sono sicuro di quest'ultima affermazione.
Questa ultima riflessione è spiegata sul primo volume di Spivak, ne sono sicuro.
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