Sottospazi vettoriali e forma parametrica
Buongiorno, ho due problemi che non riesco a risolvere che non riesco a concludere, il primo di algebra, i, secondo di geometria.
1) Ho un insieme $U=\{(\beta,\alpha,2\beta,3\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\}$ e uno spazio $W_k$ che ha come base l’insieme $\{(0,-1,0,k+1),(1,0,k,1),(1,-1,2,2k)\}$.
Devo determinare per quali valori di $k$ risulta che $U$ è sottospazio vettoriale di $W_k$.
Io ho scritto che $U=<(1,0,2,3),(0,1,0,-5)>$ è quindi pensavo di considerare la matrice che contiene i 5 vettori delle basi e imporre che abbia rango al massimo 3. Mi escono due risultati: $k=2$ e $k=4$. Il secondo è il risultato previsto dalla soluzione, ma il primo no e non so il motivo. In particolare, $k=2$ è anche il valore per cui lo spazio $W$ ha dimensione 2, ma non so come questa cosa influisca sulla richiesta ($U$ in questo caso coinciderebbe con $W$, ma sarebbe comunque un sottospazio improprio).
2)Il problema geometrico è invece il seguente: devo determinare il luogo dei punti simmetrici di $P(3,2)$ rispetto al fascio di rette $x+ky=0$ con $k\in\mathbb R$.
Il problema l’ho risolto in due modi diversi: nel primo caso ho trovato la perpendicolare alla generica retta del fascio $r$ fascio passante per $P$, l’ho intersecata con $r$ e ho imposto che questo punto fosse il punto medio tra $P$ e il suo simmetrico.
Nel secondo caso ho imposto che la distanza del generico punto della perpendicolare da $r$ fosse uguale alla distanza di $P$ da $r$.
In entrambi i casi il risultato in forma parametrica è
\begin{cases}
x=\frac{3k^2-4k-3}{1+k^2}\\
y=\frac{-2k^2-6k+2}{1+k^2}
\end{cases}
Ora però non riesco a passare alla forma cartesiana. Il risultato è $x^2+y^2=13$ e effettivamente sostituendo quelle trovate in forma parametrica torna. Non so però come fare da solo il passaggio dalla parametrica alla cartesiana non riuscendo a eliminare il parametro.
Grazie a chi si renderà disponibile.
1) Ho un insieme $U=\{(\beta,\alpha,2\beta,3\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\}$ e uno spazio $W_k$ che ha come base l’insieme $\{(0,-1,0,k+1),(1,0,k,1),(1,-1,2,2k)\}$.
Devo determinare per quali valori di $k$ risulta che $U$ è sottospazio vettoriale di $W_k$.
Io ho scritto che $U=<(1,0,2,3),(0,1,0,-5)>$ è quindi pensavo di considerare la matrice che contiene i 5 vettori delle basi e imporre che abbia rango al massimo 3. Mi escono due risultati: $k=2$ e $k=4$. Il secondo è il risultato previsto dalla soluzione, ma il primo no e non so il motivo. In particolare, $k=2$ è anche il valore per cui lo spazio $W$ ha dimensione 2, ma non so come questa cosa influisca sulla richiesta ($U$ in questo caso coinciderebbe con $W$, ma sarebbe comunque un sottospazio improprio).
2)Il problema geometrico è invece il seguente: devo determinare il luogo dei punti simmetrici di $P(3,2)$ rispetto al fascio di rette $x+ky=0$ con $k\in\mathbb R$.
Il problema l’ho risolto in due modi diversi: nel primo caso ho trovato la perpendicolare alla generica retta del fascio $r$ fascio passante per $P$, l’ho intersecata con $r$ e ho imposto che questo punto fosse il punto medio tra $P$ e il suo simmetrico.
Nel secondo caso ho imposto che la distanza del generico punto della perpendicolare da $r$ fosse uguale alla distanza di $P$ da $r$.
In entrambi i casi il risultato in forma parametrica è
\begin{cases}
x=\frac{3k^2-4k-3}{1+k^2}\\
y=\frac{-2k^2-6k+2}{1+k^2}
\end{cases}
Ora però non riesco a passare alla forma cartesiana. Il risultato è $x^2+y^2=13$ e effettivamente sostituendo quelle trovate in forma parametrica torna. Non so però come fare da solo il passaggio dalla parametrica alla cartesiana non riuscendo a eliminare il parametro.
Grazie a chi si renderà disponibile.
Risposte
Ci dev'essere un errore nel primo esercizio.
Se per esempio fosse stato $ U=\{(\beta,\alpha,2\beta,5\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\} $ allora la soluzione sarebbe $k=4$
Così com'è non esiste un valore di k che soddisfi il problema.
P.S. Per il secondo problema...io intravedo le formule parametriche del seno e coseno (spezza le frazioni).
Prob. devi ricondurti ad un classico $x=rcos(theta)$ e $y=rsin(theta)$
Chissà, passando dalle parametriche a combinazioni di seno e coseno e poi applicando l'angolo aggiunto...forse ci si arriva (hai scelto una soluzione troppo complicata!)
Se per esempio fosse stato $ U=\{(\beta,\alpha,2\beta,5\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\} $ allora la soluzione sarebbe $k=4$
Così com'è non esiste un valore di k che soddisfi il problema.
P.S. Per il secondo problema...io intravedo le formule parametriche del seno e coseno (spezza le frazioni).
Prob. devi ricondurti ad un classico $x=rcos(theta)$ e $y=rsin(theta)$
Chissà, passando dalle parametriche a combinazioni di seno e coseno e poi applicando l'angolo aggiunto...forse ci si arriva (hai scelto una soluzione troppo complicata!)
Se sostituisci $ { ( u=2y-3x ),( v=-2x-3y ):} $ ottieni $ { ( u=13[(1-k^2)/(1+k^2)]=13cos(theta) ),( v=13[(2k)/(1+k^2)]=13sin(theta) ):} $
Quindi in realtà viene fuori $x^2+y^2=13^2$
Errata corrige: la norma dei vettori che ho considerato è $sqrt(13)$ quindi in realta va diviso tutto per essa (per non cambiare la scala) e i conti tornano $x^2+y^2=13$. Infatti volevo fare solo una rotazione pura.
Quindi in realtà viene fuori $x^2+y^2=13^2$
Errata corrige: la norma dei vettori che ho considerato è $sqrt(13)$ quindi in realta va diviso tutto per essa (per non cambiare la scala) e i conti tornano $x^2+y^2=13$. Infatti volevo fare solo una rotazione pura.
"Bokonon":
Ci dev'essere un errore nel primo esercizio.
Se per esempio fosse stato $ U=\{(\beta,\alpha,2\beta,5\beta-5\alpha)\in\mathbb R^4:\alpha,\beta\in\mathbb R\} $ allora la soluzione sarebbe $ k=4 $
Così com'è non esiste un valore di k che soddisfi il problema.
No, ho ricontrollato e il testo è corretto. Il ragionamento che ho proposto pare giusto?
"Bokonon":
P.S. Per il secondo problema...io intravedo le formule parametriche del seno e coseno (spezza le frazioni).
Prob. devi ricondurti ad un classico $ x=rcos(theta) $ e $ y=rsin(theta) $
Chissà, passando dalle parametriche a combinazioni di seno e coseno e poi applicando l'angolo aggiunto...forse ci si arriva (hai scelto una soluzione troppo complicata!)
Ok, grazie mille, anche per la specifica nella risposta successiva. Però, Quale soluzione più semplice potrebbe esserci? Non me ne vengono in mente altre
Se consideri il testo corretto, allora la soluzione è per nessun k.
Per il secondo esercizio, non esistono metodi più semplici di quelli che ho impiegato per "tradurre" la tua soluzione.
Il metodo che hai usato ha due svantaggi.
Primo, una veloce riflessione ci suggerisce che se fisso il k e risolvo trovando la perpendicolare e poi la riflessione del punto e infine ruoto il tutto, ottengo una circonferenza.
Pertanto le coordinate polari gridano per essere utilizzate.
Secondo la soluzione che ottieni apparirà in tutta sua semplicità solo se si guarda rispetto al sistema di riferimento la cui base è la coppia di versori perpendicolari ${(1/sqrt(1+k^2),k/sqrt(1+k^2)),(-k/sqrt(1+k^2),1/sqrt(1+k^2))}$
La morale è che quando intuisci che la curva non sarà iniettiva, usa le coordinate polari
Per il secondo esercizio, non esistono metodi più semplici di quelli che ho impiegato per "tradurre" la tua soluzione.
Il metodo che hai usato ha due svantaggi.
Primo, una veloce riflessione ci suggerisce che se fisso il k e risolvo trovando la perpendicolare e poi la riflessione del punto e infine ruoto il tutto, ottengo una circonferenza.
Pertanto le coordinate polari gridano per essere utilizzate.
Secondo la soluzione che ottieni apparirà in tutta sua semplicità solo se si guarda rispetto al sistema di riferimento la cui base è la coppia di versori perpendicolari ${(1/sqrt(1+k^2),k/sqrt(1+k^2)),(-k/sqrt(1+k^2),1/sqrt(1+k^2))}$
La morale è che quando intuisci che la curva non sarà iniettiva, usa le coordinate polari
Sì, scusa, intendevo che il testo l’ho trascritto correttamente, poi magari c’è un errore proprio di partenza degli autori.
Mi potresti dire come l’hai risolto per far uscire che non esiste alcun valore di k?
Per quanto riguarda il secondo ok, mi è chiaro il punto, meglio passare alle polari. Grazie mille!
Mi potresti dire come l’hai risolto per far uscire che non esiste alcun valore di k?
Per quanto riguarda il secondo ok, mi è chiaro il punto, meglio passare alle polari. Grazie mille!
"nicola6":
Mi potresti dire come l’hai risolto per far uscire che non esiste alcun valore di k?
Ho risolto i sistemi non omogenei del tipo $Ax=b$ per vedere se la base di $W_k$ genera entrambi i vettori della base di $U$ per un dato $k$.
In pratica, ho creato una matrice in cui le prime tre colonne sono la base di $W_k$ e le restanti due la base di $U$. Poi ho usato Gauss per portare la matrice a scalini. Poichè l'ultima riga era del tipo $(0,0,0,k-2,k-4)$ non c'era modo di annullarla per un dato valore di $k$
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