Rivestimenti 4-foliati e universali
Ciao. ho questo esercizio.
(Esercizio) \begin{align*}
C_1 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 < 1 \} \\
C_2 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 \leq 4 \} \\
K &:= [-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1] \\
S &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x-3)^2 + y^2 + z^4 = 4 \} \\
X &:= (C_2 \cup K \cup S) \setminus C_1
\end{align*}
(1) Descrivere un rivestimento connesso di \(X\) a \(4\) fogli.
(2) Trovare un rivestimento univerale di \(X\) --- o di uno spazio omotopicamente equivalente.
Lo spazio \(X\) è questo qui sotto (da sinistra a destra: sfera, cubo pieno, tubo cilindrico pieno):
Ora, io perdo più tempo a fare i disegni che a risolvere questi esercizi... Facciamo che in entrambi i casi cerco i rivestimenti di qualche spazio omotpicamente equaivalente. Infatti \(X\) è omotopicamente equivalente (attraverso una serie di deormazioni per ritrazione) a \(\mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\). Quindi, semplicemente penso a questo per iniziare.
L'obiettivo del primo esercizio è farmi trovare un rivestimento \(p : \widetilde X \to \mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\) che abbia quattro fogli. L'idea sarebbe quella di trovare un certo spazio \(\widetilde X\) conesso per archi e localmente cnnesso per archi con un'azione di qualche gruppo \(G\) su questo spazio, il tutto tale che \(\mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\) sia (isomorfo, uguale, ... importa?) \(\widetilde X /G\). Per la proposizione 1.40 su Algebraic Topology di Hatcher (pagina 72), avrei un rivestimento \(p : \widetilde X \to \widetilde X / G\); devo trovare però un gruppo di ordine \(4\). Questo almeno restringe i possibili casi. In realtà ho fatto qualche disegno come nell'esempio introduttivo della sezione dei rivestimenti.
Il rivestimento che mi serve, equello che manda le sfere dello spazio di partenza in quella dello spazio di arrivo, mentre gli archetti, venfono mandati in \(\mathbb S^1\) come suggerito dalle freccine. Tanto handwaving, ma spero di aver reso l'idea...
Allora, qui per \(G\) potremmo prendere \(\mathbb Z_4\) e per azione quella di "ruotare di un multiplo di \(\frac\pi4\) attorno al centro della circonferenza di \(\widetilde X\)". Così, mi sembra funzionare. Che dite?
Il secondo svolgimento viene in un post a seguire...
(Esercizio) \begin{align*}
C_1 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 < 1 \} \\
C_2 &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x+3)^2 + y^2 \leq 4 \} \\
K &:= [-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1] \\
S &:= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid (x-3)^2 + y^2 + z^4 = 4 \} \\
X &:= (C_2 \cup K \cup S) \setminus C_1
\end{align*}
(1) Descrivere un rivestimento connesso di \(X\) a \(4\) fogli.
(2) Trovare un rivestimento univerale di \(X\) --- o di uno spazio omotopicamente equivalente.
Lo spazio \(X\) è questo qui sotto (da sinistra a destra: sfera, cubo pieno, tubo cilindrico pieno):
Ora, io perdo più tempo a fare i disegni che a risolvere questi esercizi... Facciamo che in entrambi i casi cerco i rivestimenti di qualche spazio omotpicamente equaivalente. Infatti \(X\) è omotopicamente equivalente (attraverso una serie di deormazioni per ritrazione) a \(\mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\). Quindi, semplicemente penso a questo per iniziare.
L'obiettivo del primo esercizio è farmi trovare un rivestimento \(p : \widetilde X \to \mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\) che abbia quattro fogli. L'idea sarebbe quella di trovare un certo spazio \(\widetilde X\) conesso per archi e localmente cnnesso per archi con un'azione di qualche gruppo \(G\) su questo spazio, il tutto tale che \(\mathbb S^1 \vee \mathbb S^2\) sia (isomorfo, uguale, ... importa?) \(\widetilde X /G\). Per la proposizione 1.40 su Algebraic Topology di Hatcher (pagina 72), avrei un rivestimento \(p : \widetilde X \to \widetilde X / G\); devo trovare però un gruppo di ordine \(4\). Questo almeno restringe i possibili casi. In realtà ho fatto qualche disegno come nell'esempio introduttivo della sezione dei rivestimenti.
Il rivestimento che mi serve, equello che manda le sfere dello spazio di partenza in quella dello spazio di arrivo, mentre gli archetti, venfono mandati in \(\mathbb S^1\) come suggerito dalle freccine. Tanto handwaving, ma spero di aver reso l'idea...
Allora, qui per \(G\) potremmo prendere \(\mathbb Z_4\) e per azione quella di "ruotare di un multiplo di \(\frac\pi4\) attorno al centro della circonferenza di \(\widetilde X\)". Così, mi sembra funzionare. Che dite?
Il secondo svolgimento viene in un post a seguire...
Risposte
Vabbè, ma quindi una volta finito il disegno come lo risolvi?
Calma. Ho premuto per sbaglio su "invia" invece che su "salva bozza". Ormai tu hai già risposto, e quindi rimane così. Completo o riscrivo alcune parti fra un po'.
Diciamo che per il secondo punto, riciclo il primo svolgimento... Precisamente, il ricoprimento universale (in realtà, lo spazio di partenza dello) che ho in mente è una retta lungo la quale vengono attaccate delle copie di \(\mathbb S^2\), come qui sotto:
Anche se in realtà un sospetto che le sfere attaccate non servano, basta solo una retta. Il rivestimento in tal caso sarebbe la funzione \(\lambda t . e^{2\pi it}\) che manda i punti della retta nel pezzo \(\mathbb S^1\). Un 'altra possibilità, è fare come a pagine 77 di Hatcher, passando per i grafi e i complessi di Cayley.
Chiedo scusa per la quantità di immagini in questo thread...
Anche se in realtà un sospetto che le sfere attaccate non servano, basta solo una retta. Il rivestimento in tal caso sarebbe la funzione \(\lambda t . e^{2\pi it}\) che manda i punti della retta nel pezzo \(\mathbb S^1\). Un 'altra possibilità, è fare come a pagine 77 di Hatcher, passando per i grafi e i complessi di Cayley.
Chiedo scusa per la quantità di immagini in questo thread...
Considera un rivestimento a 4 fogli del cerchio, quindi un avvolgimento sul cerchio per 4 giri, e ad intervalli di 2pi attacchi una sfera. Questo è un rivestimento a 4 fogli dello spazio che vuoi.
Similmente il rivestimento universale è un'elica cilindrica dove ad ogni giro attacchi una sfera.
Similmente il rivestimento universale è un'elica cilindrica dove ad ogni giro attacchi una sfera.
Ah sì, certo. Grazie.
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