Topologia cofinita, parte interna e chiusura, continuità
Ciao a tutti, stavo tentando di risolvere il seguente esercizio di topologia:
Si consideri $\mathbb(R)$ con la topologia cofinita $\tau_(cof)$ definita da: $A\in\tau_(cof)$ se e solo se $A=\mathbb(R)$ oppure $\mathbb(R)\setminus A$ è un insieme di cardinalità finita.
Dunque i chiusi della topologia sono gli insiemi con cardinalità finita.
Chiamiamo $X=(\mathbb(R),\tau_(cof))$ e sia $Y$ invece $\mathbb(R)$ con la usuale topolgia euclidea.
Consideriamo il sottospazio $B=\{\(x,y)\in X\times Y \ : \ x^2+y^2<1\}$ dello spazio prodotto $X\times Y$.
Determinare chiusura e parte interna di $B$.
Io ho ragionato nel seguente modo:
noto anzitutto che necessariamente $x,y\in (-1,1)$.
Il vero problema poi è capire chiusura e parte interna della variabile $x\in X$.
In particolare, dato che $x\in (-1,1)$, cerco allora il più grande aperto della topologia cofinita contenuto in $(-1,1)$.
Gli aperti della topologia cofinita devono necessariamente essere illimitati (altrimenti il complementare non avrà mai cardinalità finita), ma $(-1,1)$ è un insieme limitato, dunque necessariamente l'aperto cercato sarà l'insieme vuoto $\emptyset$.
Dunque la parte interna di $B$ sarà data da: $\emptyset \times (-1,1)$.
Per quanto riguarda la chiusura, cerco il più piccolo chiuso della topologia cofinita che contiene $(-1,1)$.
In $\tau_(cof)$ ho che i chiusi hanno cardinalità finita, mentre $(-1,1)$ ha cardinalità infinita, dunque l'unico chiuso che può contenere $(-1,1)$ è tutto lo spazio $X$.
Dunque la chiusura di $B$ sarà $X\times [-1,1]$.
Sento che qualcosa puzza, ma non riesco a capire cosa...
Avrei poi una seconda domanda:
Consideriamo su un generico spazio $X$ due topologie $\tau,\mu$ con $\tau$ più fine di $\mu$, ovvero $\mu<\tau$.
Prendiamo poi una funzione $f: X\to X$..
1) se $f$ è continua nella topologia $\tau$, è continua anche nella topologia $\mu$?
2) se $f$ non è continua nella topologia $\mu$, è non continua anche nella topologia $\tau$?
Insomma, c'è qualche collegamento tra la continuità e la finezza delle topologie?
Si consideri $\mathbb(R)$ con la topologia cofinita $\tau_(cof)$ definita da: $A\in\tau_(cof)$ se e solo se $A=\mathbb(R)$ oppure $\mathbb(R)\setminus A$ è un insieme di cardinalità finita.
Dunque i chiusi della topologia sono gli insiemi con cardinalità finita.
Chiamiamo $X=(\mathbb(R),\tau_(cof))$ e sia $Y$ invece $\mathbb(R)$ con la usuale topolgia euclidea.
Consideriamo il sottospazio $B=\{\(x,y)\in X\times Y \ : \ x^2+y^2<1\}$ dello spazio prodotto $X\times Y$.
Determinare chiusura e parte interna di $B$.
Io ho ragionato nel seguente modo:
noto anzitutto che necessariamente $x,y\in (-1,1)$.
Il vero problema poi è capire chiusura e parte interna della variabile $x\in X$.
In particolare, dato che $x\in (-1,1)$, cerco allora il più grande aperto della topologia cofinita contenuto in $(-1,1)$.
Gli aperti della topologia cofinita devono necessariamente essere illimitati (altrimenti il complementare non avrà mai cardinalità finita), ma $(-1,1)$ è un insieme limitato, dunque necessariamente l'aperto cercato sarà l'insieme vuoto $\emptyset$.
Dunque la parte interna di $B$ sarà data da: $\emptyset \times (-1,1)$.
Per quanto riguarda la chiusura, cerco il più piccolo chiuso della topologia cofinita che contiene $(-1,1)$.
In $\tau_(cof)$ ho che i chiusi hanno cardinalità finita, mentre $(-1,1)$ ha cardinalità infinita, dunque l'unico chiuso che può contenere $(-1,1)$ è tutto lo spazio $X$.
Dunque la chiusura di $B$ sarà $X\times [-1,1]$.
Sento che qualcosa puzza, ma non riesco a capire cosa...
Avrei poi una seconda domanda:
Consideriamo su un generico spazio $X$ due topologie $\tau,\mu$ con $\tau$ più fine di $\mu$, ovvero $\mu<\tau$.
Prendiamo poi una funzione $f: X\to X$..
1) se $f$ è continua nella topologia $\tau$, è continua anche nella topologia $\mu$?
2) se $f$ non è continua nella topologia $\mu$, è non continua anche nella topologia $\tau$?
Insomma, c'è qualche collegamento tra la continuità e la finezza delle topologie?
Risposte
"Lebesgue":A me sembrano giuste le tue conclusioni, ma la dimostrazione non va molto bene, perché sembri partire dal presupposto che le proiezioni canoniche $X xx Y to X$, $X xx Y to Y$ mandano aperti in aperti e chiusi in chiusi. Che mandino aperti in aperti è vero (ma non ovvio), ma che mandino chiusi in chiusi è falso, pensa per esempio al chiuso di $RR^2$ (euclideo) definito dall'equazione $xy=1$, la sua proiezione su uno qualsiasi dei due assi è $RR-{0}$, non è chiusa.
Sento che qualcosa puzza, ma non riesco a capire cosa...
Osserva inoltre che [tex]\varnothing \times (-1,1) = \varnothing[/tex].
Avrei poi una seconda domanda:
Consideriamo su un generico spazio $X$ due topologie $\tau,\mu$ con $\tau$ più fine di $\mu$, ovvero $\mu<\tau$.
Prendiamo poi una funzione $f: X\to X$..
1) se $f$ è continua nella topologia $\tau$, è continua anche nella topologia $\mu$?
2) se $f$ non è continua nella topologia $\mu$, è non continua anche nella topologia $\tau$?
Insomma, c'è qualche collegamento tra la continuità e la finezza delle topologie?
Assumerò che tu stia dando la stessa topologia a dominio e codominio. In generale no, per esempio
1. La topologia discreta è più fine di quella euclidea in $RR$ e tutte le funzioni $RR to RR$ sono continue con la topologia discreta ma non sono tutte continue con la topologia euclidea.
2. La topologia euclidea è più fine di quella cofinita in $RR$, tuttavia qualsiasi funzione iniettiva $RR to RR$ è continua con la topologia cofinita (la preimmagine di un insieme finito $U$ ha cardinalità al massimo $|U|$ quindi è finita) ma non tutte le funzioni iniettive $RR to RR$ sono continue con la topologia euclidea (ovviamente).
"Martino":
... che mandino chiusi in chiusi è falso, pensa per esempio al chiuso di $RR^2$ (euclideo) definito dall'equazione $xy=1$, la sua proiezione su uno qualsiasi dei due assi è $RR-{0}$, non è chiusa.
Giusto, hai perfettamente ragione, provvederò a sistemare la cosa.
"Martino":
Assumerò che tu stia dando la stessa topologia a dominio e codominio.
Sisi, chiedo scusa per non averlo specificato
"Martino":
In generale no, per esempio
1. La topologia discreta è più fine di quella euclidea in $RR$ e tutte le funzioni $RR to RR$ sono continue con la topologia discreta ma non sono tutte continue con la topologia euclidea.
2. La topologia euclidea è più fine di quella cofinita in $RR$, tuttavia qualsiasi funzione iniettiva $RR to RR$ è continua con la topologia cofinita (la preimmagine di un insieme finito $U$ ha cardinalità al massimo $|U|$ quindi è finita) ma non tutte le funzioni iniettive $RR to RR$ sono continue con la topologia euclidea (ovviamente).
Ti ringrazio infinitamente, sei stato chiarissimo
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