Matrice non diagonalizzabile in campo complesso

[francyiato]

Buongiorno volevo sapere se poteste farmi un esempio di una matrice non diagonalizzabile in campo complesso. Grazie.

[Lebesgue]

Basta prendere la matrice $M$

\begin{pmatrix} i & 1\\ 0 & i \end{pmatrix}

Infatti il suo polinomio caratteristico è $p(\lambda)=(i-\lambda)^2$, per cui ha un unico autovalore $\lambda=i$ di molteplicità algebrica 2.
Tuttavia, se vai a calcolare la molteplicità geometrica, ottieni che $\ker(M-iI)=Span((1,0))$ ovvero la molteplicità geometrica è 1, dunque la matrice non è diagonalizzabile.

Ricorda che nel campo dei complessi, tutte le matrici sono triangolabili, ma non tutte sono diagonalizzabili.

Edit: se invece cerchi una matrice diagonalizzabile sui complessi ma NON sui reali, allora basta prendere
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
Infatti il suo polinomio caratteristico è $p(\lambda)=\lambda^2+1$ e tale polinomio NON si scompone sui reali, per cui la matrice non è diagonalizzabile su $\mathbb(R)$ (non è nemmeno triangolabile, dato che il polinomio non si scompone).

Invece sui complessi hai $p(\lambda)=(\lambda-i)(\lambda+i)$, dunque hai due radici distinte di molteplicità algebrica 1, dunque la matrice è diagonalizzabile su $\mathbb(C)$ [in quanto per ogni autovalore vale sempre che $1\le \mbox(molt. geomet)\le \mbox( molt. algeb) $] e la matrice diagonale complessa è data da:

\begin{pmatrix} i&0\\0&-i \end{pmatrix}

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per come è posta la domanda, va bene anche $((1,1),(0,1))$, con una dimostrazione analoga a quella data da Lebesgue.

[j18eos]

In abbondandis ad abbondandum (Totò): la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & i\\
i & -1
\end{pmatrix}
\]
è simmetrica, complessa (non reale) ma non diagonalizzabile; seppure abbia il polinomio caratteristico a coefficienti reali.

[francyiato]

Grazie mille a tutti quanti delle risposte!