Rappresentazione completamente riducibile
Salve a tutti.
Sto affrontando la teoria delle rappresentazioni e volevo alcuni chiarimenti sulle rappresentazioni completamente riducibili. Dalla definizione che ho sul mio testo ho che una rappresentazione di dimensione finita è completamente riducibile se è equivalente/isomorfa alla somma diretta di finite rappresentazioni irriducibili.
Quindi per verificare che una rappresentazione sia completamente riducibile devo trovare altre rappresentazioni di dimensione minore che agiscono su sottospazi dello spazio vettoriale di partenza in modo che queste siano irriducibili (ovvero che questi sottospazi non risultino invarianti sotto l'azione della mia sottorappresentazione) ?
Dal punto di vista pratico basta trovare una base per cui la mia rappresentazione sia diagonale a blocchi?
Se si, come si deve procedere?
I concetti non mi sono molto chiari e potrei aver scritto qualche cosa senza senso. Grazie per la disponibilità e per qualunque aiuto possiate offrirmi.
Sto affrontando la teoria delle rappresentazioni e volevo alcuni chiarimenti sulle rappresentazioni completamente riducibili. Dalla definizione che ho sul mio testo ho che una rappresentazione di dimensione finita è completamente riducibile se è equivalente/isomorfa alla somma diretta di finite rappresentazioni irriducibili.
Quindi per verificare che una rappresentazione sia completamente riducibile devo trovare altre rappresentazioni di dimensione minore che agiscono su sottospazi dello spazio vettoriale di partenza in modo che queste siano irriducibili (ovvero che questi sottospazi non risultino invarianti sotto l'azione della mia sottorappresentazione) ?
Dal punto di vista pratico basta trovare una base per cui la mia rappresentazione sia diagonale a blocchi?
Se si, come si deve procedere?
I concetti non mi sono molto chiari e potrei aver scritto qualche cosa senza senso. Grazie per la disponibilità e per qualunque aiuto possiate offrirmi.
Risposte
Sì hai scritto cose ragionevoli, ma la domanda è troppo generale. Hai un esempio specifico che non sai risolvere?
Si riporto il caso specifico del gruppo $(RR, +)$. Considero $\rho: RR->GL(CC^2)$
$\rho(x)=((1,x),(0,1))$ dove vedo subito che ho il sottospazio $((1),(0))$ invariante sotto l'azione di $\rho$ quindi la mia rappresentazione è riducibile e voglio provare a dimostrare che sia anche completamente riducibile.
Il mio obiettivo adesso è quello di mostrare che la mia rappresentazione è isomorfa a un'altra che è data dalla somma diretta di rappresentazioni irriducibili. Essendo in dimensione 2 tale somma diretta sarà composta da 2 rappresentazioni monodimensionali che, se esistono, saranno sicuramente irriducibili in quanto di dimensione 1.
Quindi in questo caso il mio problema si riduce a diagonalizzare la matrice $\rho$ in modo da ottenere la forma che voglio?
Ovviamente in questo caso vedo che non è possibile fare questa operazione e quindi posso concludere da questo che la mia rappresentazione non è completamente riducibile?
O potrei fare altre considerazioni rimanendo su un piano più generale senza entrare nell'ambito della dimensionalità del problema?
$\rho(x)=((1,x),(0,1))$ dove vedo subito che ho il sottospazio $((1),(0))$ invariante sotto l'azione di $\rho$ quindi la mia rappresentazione è riducibile e voglio provare a dimostrare che sia anche completamente riducibile.
Il mio obiettivo adesso è quello di mostrare che la mia rappresentazione è isomorfa a un'altra che è data dalla somma diretta di rappresentazioni irriducibili. Essendo in dimensione 2 tale somma diretta sarà composta da 2 rappresentazioni monodimensionali che, se esistono, saranno sicuramente irriducibili in quanto di dimensione 1.
Quindi in questo caso il mio problema si riduce a diagonalizzare la matrice $\rho$ in modo da ottenere la forma che voglio?
Ovviamente in questo caso vedo che non è possibile fare questa operazione e quindi posso concludere da questo che la mia rappresentazione non è completamente riducibile?
O potrei fare altre considerazioni rimanendo su un piano più generale senza entrare nell'ambito della dimensionalità del problema?
Nel caso di rappresentazioni che sono completamente riducibili prendo in considerazione le rappresentazioni unitarie sullo spazio di Hilbert. Esse sono completamente riducibili se le dimensioni dello spazio di Hilbert dove agiscono è finito.
La domanda è la seguente:
questa proprietà si può ricondurre al fatto che ogni operatore unitario di dimensione finita ammette una base di autovettori che diagonalizzano il mio operatore unitario e quindi posso scrivere la mia rappresentazione unitaria in forma diagonale? (quindi somma diretta di sottorappresentazioni)
Queste sono le idee che mi sono fatto su come poter dire che una rappresentazione sia completamente riducibile o meno anche se forse tramite queste idee mi sto allontanando dai nuovi concetti visti in teoria delle rappresentazioni.
Grazie per ogni tipo di aiuto offerto.
La domanda è la seguente:
questa proprietà si può ricondurre al fatto che ogni operatore unitario di dimensione finita ammette una base di autovettori che diagonalizzano il mio operatore unitario e quindi posso scrivere la mia rappresentazione unitaria in forma diagonale? (quindi somma diretta di sottorappresentazioni)
Queste sono le idee che mi sono fatto su come poter dire che una rappresentazione sia completamente riducibile o meno anche se forse tramite queste idee mi sto allontanando dai nuovi concetti visti in teoria delle rappresentazioni.
Grazie per ogni tipo di aiuto offerto.
"Gabriele Pagnanelli":
Si riporto il caso specifico del gruppo $ (RR, +) $. Considero $ \rho: RR->GL(CC^2) $
$ \rho(x)=((1,x),(0,1)) $ dove vedo subito che ho il sottospazio $ ((1),(0)) $ invariante sotto l'azione di $ \rho $ quindi la mia rappresentazione è riducibile e voglio provare a dimostrare che sia anche completamente riducibile.
Basta applicare le definizioni: $\rho$ è completamente riducibile se è isomorfa alla somma di due caratteri. Questo significa che esistono $\chi_1,\chi_2: \mathbb R\to \mathbb C$ tali che $\rho\cong \chi_1\oplus\chi_2$, il che a sua volta significa che esiste una matrice $M$ tale che per ogni $x\in \mathbb R$ si ha $M\rho(x)M^{-1}=\chi_1(x)\oplus\chi_2(x)$, dove il secondo membro è la matrice diagonale con quelle entrate. In particolare quindi, ogni elemento nell'immagine di $\rho$ dev'essere diagonalizzabile. Cosa che in questo caso non succede.
Okok per il primo esempio penso sia tutto chiaro. Per il secondo invece il mio ragionamento ha senso o mi sto perdendo qualche passaggio fondamentale?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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