Curvature normali e geodetiche di una curva su una superficie.
Ciao 
, ho questo esercizietto base, ma sul quale ho qualche esitazione.
(Esercizio) Sia la curva \(\alpha : \mathbb R \to \mathbb R^3\), \(\alpha(t) := (\cos t, \sin t, t)\) e la superficie elementare \(x : \mathbb R \times (0, +\infty) \to \mathbb R ^3\), \(x(u, v) := (u \cos v, u \sin v, 1+v-u)\).
(1) Verificare che il sostgno di \(\alpha\) è contenuto in quello di \(x\).
(2) Calcolare la curvatura normale e geodetica di \(\alpha\). Stabilire se \(\alpha\) è geodetica.
Guardando un po' come sono definite curva e superficie, mi viene da dire che \(\alpha = x (1, \cdot)\), ma non typecheckano. Potrebbe essere una svista, potrebbe essere \(\alpha : (0, +\infty) \to \mathbb R^3\) oppure \(x : (0, +\infty) \times \mathbb R \to \mathbb R^3\)...
Comunque sia, provo a intavolare gli svolgimento, sperando di non aver preso un abbaglio.
(1) Dall'identità appena menzionata, semplice.
(2) Non ho ancora studiato la parte della curvatura geodetica, quindi mi concentrerò su quello che già dovrei saper fare. Per me è già tanto mettere insieme queste cose.
Poiché la curva è contenuta nella superficie, si può scrivere \[\alpha(t) = x(u(t), v(t))\] dove ne nostro caso \(u(t) = 1\) e \(v(t) = t\). In questo caso, \[\alpha'(t) = x_v(1, t)\] e quindi nella base \(\left\{ x_u(u, v), x_v(u, v) \right\}\) dello spazio tangente in \(x(u, v)\) ha coordinate \((u', v') = (0, 1)\). La curvatura normale è \[k_n(t) = \frac{\mathrm{II}(\alpha'(t), \alpha'(t))}{\mathrm I (\alpha'(t), \alpha'(t))}\] con \(\mathrm I\) e \(\mathrm{II}\) le due forme fondamentali di una superficie. Non mi sembra che ci sia il bisogno di calcolare tutto tutto: \[\mathrm I(\alpha'(t), \alpha'(t)) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = G.\] Similmente per la seconda forma fondamentale: \[\mathrm{II}(\alpha'(t), \alpha'(t)) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = g .\] Qui sopra, \(E\), \(F\), \(G\), \(e\), \(f\) e \(g\) sono funzioni in \((u, v)\) ed \(u\) e \(v\) sono funzioni in \(t\), ma diventa pesante scriverlo... Va bene, ora purtroppo qualche conto bisogna farlo:
\[\begin{align*}
& G = \langle x_v, x_v \rangle = u^2 +1\\
& g = \frac{1}{\lVert x_u \wedge x_v \rVert} \langle x_u \wedge x_v, x_{vv} \rangle = -\frac{u^2}{\sqrt{1 + 2u^2}}
\end{align*}\] e quindi \(k_n (t) = - \frac1{2 \sqrt 3}\) ovunque.
Vedo adesso se la curva è geodetica, cioè devo verificare che \(\alpha''\) sia normale alla superficie. Anzitutto, \(\alpha''(t) = x_{vv}(1, t) = (-\cos t, -\sin t, 0)\). Quindi \[\begin{align*}
& \langle \alpha''(t), x_u(u(t), v(t)) \rangle = \langle x_{vv}(1, t), x_u(1, t) \rangle = -1 \\
& \langle \alpha''(t), x_v(u(t), v(t)) \rangle = \langle x_{vv}(1, t), x_v(1, t) \rangle = 0
\end{align*}\]e \(\alpha\) non è geodetica.
Va bene, aldilà dei calcoli in cui ci sarà qualche errore, studiando mi sono trovato in difficoltà a cucire insieme le cose. Mi interessa capire se come ho messo insieme le cose va bene.
, ho questo esercizietto base, ma sul quale ho qualche esitazione.(Esercizio) Sia la curva \(\alpha : \mathbb R \to \mathbb R^3\), \(\alpha(t) := (\cos t, \sin t, t)\) e la superficie elementare \(x : \mathbb R \times (0, +\infty) \to \mathbb R ^3\), \(x(u, v) := (u \cos v, u \sin v, 1+v-u)\).
(1) Verificare che il sostgno di \(\alpha\) è contenuto in quello di \(x\).
(2) Calcolare la curvatura normale e geodetica di \(\alpha\). Stabilire se \(\alpha\) è geodetica.
Guardando un po' come sono definite curva e superficie, mi viene da dire che \(\alpha = x (1, \cdot)\), ma non typecheckano. Potrebbe essere una svista, potrebbe essere \(\alpha : (0, +\infty) \to \mathbb R^3\) oppure \(x : (0, +\infty) \times \mathbb R \to \mathbb R^3\)...
Comunque sia, provo a intavolare gli svolgimento, sperando di non aver preso un abbaglio.
(1) Dall'identità appena menzionata, semplice.
(2) Non ho ancora studiato la parte della curvatura geodetica, quindi mi concentrerò su quello che già dovrei saper fare. Per me è già tanto mettere insieme queste cose.
Poiché la curva è contenuta nella superficie, si può scrivere \[\alpha(t) = x(u(t), v(t))\] dove ne nostro caso \(u(t) = 1\) e \(v(t) = t\). In questo caso, \[\alpha'(t) = x_v(1, t)\] e quindi nella base \(\left\{ x_u(u, v), x_v(u, v) \right\}\) dello spazio tangente in \(x(u, v)\) ha coordinate \((u', v') = (0, 1)\). La curvatura normale è \[k_n(t) = \frac{\mathrm{II}(\alpha'(t), \alpha'(t))}{\mathrm I (\alpha'(t), \alpha'(t))}\] con \(\mathrm I\) e \(\mathrm{II}\) le due forme fondamentali di una superficie. Non mi sembra che ci sia il bisogno di calcolare tutto tutto: \[\mathrm I(\alpha'(t), \alpha'(t)) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = G.\] Similmente per la seconda forma fondamentale: \[\mathrm{II}(\alpha'(t), \alpha'(t)) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = g .\] Qui sopra, \(E\), \(F\), \(G\), \(e\), \(f\) e \(g\) sono funzioni in \((u, v)\) ed \(u\) e \(v\) sono funzioni in \(t\), ma diventa pesante scriverlo... Va bene, ora purtroppo qualche conto bisogna farlo:
\[\begin{align*}
& G = \langle x_v, x_v \rangle = u^2 +1\\
& g = \frac{1}{\lVert x_u \wedge x_v \rVert} \langle x_u \wedge x_v, x_{vv} \rangle = -\frac{u^2}{\sqrt{1 + 2u^2}}
\end{align*}\] e quindi \(k_n (t) = - \frac1{2 \sqrt 3}\) ovunque.
Vedo adesso se la curva è geodetica, cioè devo verificare che \(\alpha''\) sia normale alla superficie. Anzitutto, \(\alpha''(t) = x_{vv}(1, t) = (-\cos t, -\sin t, 0)\). Quindi \[\begin{align*}
& \langle \alpha''(t), x_u(u(t), v(t)) \rangle = \langle x_{vv}(1, t), x_u(1, t) \rangle = -1 \\
& \langle \alpha''(t), x_v(u(t), v(t)) \rangle = \langle x_{vv}(1, t), x_v(1, t) \rangle = 0
\end{align*}\]e \(\alpha\) non è geodetica.
Va bene, aldilà dei calcoli in cui ci sarà qualche errore, studiando mi sono trovato in difficoltà a cucire insieme le cose. Mi interessa capire se come ho messo insieme le cose va bene.
Risposte
Metto anche la curvatura geodetica prima che me ne scordi definitivamente...
Da definizione, la curvatura geodetica è \[k_g(t) = \frac1{\left\lVert \alpha'(t) \right\rVert ^3} \left\langle \alpha'(t) \wedge \alpha''(t), N(\alpha(t)) \right\rangle\] dove con \(N\) indico la normale alla superficie in \(\alpha(t)\). Forse è meglio che esprimo la \(N\) in termini di \((u, v)\): \[N = \frac{x_u \wedge x_v}{\left\lVert x_u \wedge x_v \right\rVert}\] Ora, semore ricordando che \(\alpha = \lambda t . x(1, t)\) si ha che la norma in \(\alpha(t)\) è proprio \(N(1, t)\). Giusto? Un po' di conti e mi sembra che \[k_g(t) = \frac1{\left\lVert \alpha'(t) \right\rVert ^3} \left\langle \alpha'(t) \wedge \alpha''(t), N(1, t) \right\rangle = \frac1{4 \sqrt 3}.\]
Nel caso in cui ci fossero delle risposte un po' più là (non sono un assiduo frequentatore di questo forum, e quindi potrei perdermele) e magari qualcuno passa qui, lascio il link in cui c'è (quasi) lo stesso esercizio, ma in inglese: https://math.stackexchange.com/question ... b-r3-alpha.
Da definizione, la curvatura geodetica è \[k_g(t) = \frac1{\left\lVert \alpha'(t) \right\rVert ^3} \left\langle \alpha'(t) \wedge \alpha''(t), N(\alpha(t)) \right\rangle\] dove con \(N\) indico la normale alla superficie in \(\alpha(t)\). Forse è meglio che esprimo la \(N\) in termini di \((u, v)\): \[N = \frac{x_u \wedge x_v}{\left\lVert x_u \wedge x_v \right\rVert}\] Ora, semore ricordando che \(\alpha = \lambda t . x(1, t)\) si ha che la norma in \(\alpha(t)\) è proprio \(N(1, t)\). Giusto? Un po' di conti e mi sembra che \[k_g(t) = \frac1{\left\lVert \alpha'(t) \right\rVert ^3} \left\langle \alpha'(t) \wedge \alpha''(t), N(1, t) \right\rangle = \frac1{4 \sqrt 3}.\]
Nel caso in cui ci fossero delle risposte un po' più là (non sono un assiduo frequentatore di questo forum, e quindi potrei perdermele) e magari qualcuno passa qui, lascio il link in cui c'è (quasi) lo stesso esercizio, ma in inglese: https://math.stackexchange.com/question ... b-r3-alpha.
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