Una metrica universale su un gruppo libero
Supponiamo di avere un insieme \(X\) di generatori per il gruppo libero \(FX\), e però supponiamo che in aggiunta \(X\) sia uno spazio metrico.
Esiste un modo di mettere su \(FX\) una metrica \(d_{FX} : FX\times FX \to \mathbb R_\ge\) che sia "compatibile" con l'operazione di gruppo e universale con questa proprietà?
Quello che voglio realizzare è questo: per la proprietà universale del gruppo libero, ogni funzione \(f : X \to G\) dove \(G\) è un gruppo si estende a un omomorfismo di gruppi \(\bar f : FX\to G\) in un unico modo. Se ora \(G\) è un gruppo metrico[¹], vorrei che ogni mappa nonespansiva \(f : (X,d_X)\to (G,d_G)\) si estenda in maniera unica a una mappa nonespansiva \(\bar f : (FX,d_{FX}) \to (G,d_G)\).
(Per chi sa: sto considerando il funtore dimenticante \(U : {\sf MGrp} \to {\sf Met}\) che prende un gruppo metrico e dimentica la struttura di gruppo dandomi solo l'insieme sottostante e mi sto chiedendo: $U$ ha un aggiunto sinistro?)
Per fare questo, non mi mancano le idee, il problema è non saper trovarne una canonica: una costruzione di Graev produce una metrica \(\text{g}\) bi-invariante su $FX$ che rende $FX$ un gruppo topologico rispetto alla topologia indotta da \(\text{g}\). Questo sembra un risultato soddisfacente, ma si basa sulla possibilità di trovare una estensione della metrica $d_X$ all'insieme \(\bar X := X\cup X^{-1}\cup \{e\}\), soggetta alle proprietà per cui \(d(x^{-1},y^{-1})=d(x,y), d(x^{-1},y)=d(x,y^{-1}), d(x,e)=d(x^{-1},e)\) per ogni \(x,y\in X\).[²]
Sapendo fare questo, la metrica su $FX$ è prima estesa al monoide delle parole in \(\bar X\) (questo si può fare in modo essenzialmente unico se si vuole che tale monoide libero abbia la proprietà universale di \(\sum_{n=0}^\infty \bar X^n\) in \(\sf Met\), se \(A^n := A \times \dots\times A\))[³], e successivamente si definisce la distanza tra due parole \(u,v\in FX\) come l'infimo delle distanze tra tutte le parole \(u^*,v^*\) che riducono rispettivamente a $u$ e a $v$: \[\text{g}(u,v) := \inf\{r(u^*,v^*)\mid u^*\rightsquigarrow u, v^*\rightsquigarrow v\}\] (credo sia chiaro cosa significa "riducono", ma per sicurezza lo spiego: una parola nel gruppo libero è irriducibile se sono state espunte tutti gli elementi ridondanti, cioè non compare l'identità, e non compaiono sottostringhe della forma \(uu^{-1}\)).
Mettendo insieme tutti questi fatti, l'idea più intelligente che mi è venuta è di estendere la metrica di $X$ all'insieme \(X\cup\{e\}\) e poi usare la costruzione di Graev: il problema è che questa costruzione è "noiosa", nel senso che l'unica maniera sensata di rendere \(X\cup\{e\}\) uno spazio metrico è dire che \(d(x,e)=\infty\) per ogni $x\in X$, e del resto questo non va bene se poi voglio che la metrica sia bi-invariante.
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[¹]: Potrei sbagliare su cosa sia un gruppo metrico, ma mi sembra sia un gruppo con una metrica bi-invariante, cioè tale per cui almeno le traslazioni destre e sinistre e l'inversione siano isometrie: \(d(ax,bx)=d(xa,xb)=d(a,b), d(a^{-1},b^{-1})=d(a,b)\) per ogni $a,b,x\in G$. Ad esempio, ogni gruppo con la metrica discreta è un gruppo metrico (per motivi banali). Notate che dalla bi-invarianza segue che la metrica è "rigida" rispetto alla struttura di gruppo, cioè \(d(x,y)=d(xy^{-1},e)=d(y^{-1}x,1)\) per ogni \(x,y\in X\).
[²]: Il problema è che questa estensione può benissimo non essere unica, anche se soggetta a tutte le condizioni che vuole Graev.
[³]: sia $(E,d)$ uno spazio metrico; sull'insieme \(E^\star\) delle liste a valori in $E$ definisco una metrica che dice che \(r(\vec x,\vec y) = \sum_{i=1}^n d(x_i, y_i)\) se \(\vec x,\vec y\) sono liste della stessa lunghezza, ed è infinita altrimenti.
Esiste un modo di mettere su \(FX\) una metrica \(d_{FX} : FX\times FX \to \mathbb R_\ge\) che sia "compatibile" con l'operazione di gruppo e universale con questa proprietà?
Quello che voglio realizzare è questo: per la proprietà universale del gruppo libero, ogni funzione \(f : X \to G\) dove \(G\) è un gruppo si estende a un omomorfismo di gruppi \(\bar f : FX\to G\) in un unico modo. Se ora \(G\) è un gruppo metrico[¹], vorrei che ogni mappa nonespansiva \(f : (X,d_X)\to (G,d_G)\) si estenda in maniera unica a una mappa nonespansiva \(\bar f : (FX,d_{FX}) \to (G,d_G)\).
(Per chi sa: sto considerando il funtore dimenticante \(U : {\sf MGrp} \to {\sf Met}\) che prende un gruppo metrico e dimentica la struttura di gruppo dandomi solo l'insieme sottostante e mi sto chiedendo: $U$ ha un aggiunto sinistro?)
Per fare questo, non mi mancano le idee, il problema è non saper trovarne una canonica: una costruzione di Graev produce una metrica \(\text{g}\) bi-invariante su $FX$ che rende $FX$ un gruppo topologico rispetto alla topologia indotta da \(\text{g}\). Questo sembra un risultato soddisfacente, ma si basa sulla possibilità di trovare una estensione della metrica $d_X$ all'insieme \(\bar X := X\cup X^{-1}\cup \{e\}\), soggetta alle proprietà per cui \(d(x^{-1},y^{-1})=d(x,y), d(x^{-1},y)=d(x,y^{-1}), d(x,e)=d(x^{-1},e)\) per ogni \(x,y\in X\).[²]
Sapendo fare questo, la metrica su $FX$ è prima estesa al monoide delle parole in \(\bar X\) (questo si può fare in modo essenzialmente unico se si vuole che tale monoide libero abbia la proprietà universale di \(\sum_{n=0}^\infty \bar X^n\) in \(\sf Met\), se \(A^n := A \times \dots\times A\))[³], e successivamente si definisce la distanza tra due parole \(u,v\in FX\) come l'infimo delle distanze tra tutte le parole \(u^*,v^*\) che riducono rispettivamente a $u$ e a $v$: \[\text{g}(u,v) := \inf\{r(u^*,v^*)\mid u^*\rightsquigarrow u, v^*\rightsquigarrow v\}\] (credo sia chiaro cosa significa "riducono", ma per sicurezza lo spiego: una parola nel gruppo libero è irriducibile se sono state espunte tutti gli elementi ridondanti, cioè non compare l'identità, e non compaiono sottostringhe della forma \(uu^{-1}\)).
Mettendo insieme tutti questi fatti, l'idea più intelligente che mi è venuta è di estendere la metrica di $X$ all'insieme \(X\cup\{e\}\) e poi usare la costruzione di Graev: il problema è che questa costruzione è "noiosa", nel senso che l'unica maniera sensata di rendere \(X\cup\{e\}\) uno spazio metrico è dire che \(d(x,e)=\infty\) per ogni $x\in X$, e del resto questo non va bene se poi voglio che la metrica sia bi-invariante.
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[¹]: Potrei sbagliare su cosa sia un gruppo metrico, ma mi sembra sia un gruppo con una metrica bi-invariante, cioè tale per cui almeno le traslazioni destre e sinistre e l'inversione siano isometrie: \(d(ax,bx)=d(xa,xb)=d(a,b), d(a^{-1},b^{-1})=d(a,b)\) per ogni $a,b,x\in G$. Ad esempio, ogni gruppo con la metrica discreta è un gruppo metrico (per motivi banali). Notate che dalla bi-invarianza segue che la metrica è "rigida" rispetto alla struttura di gruppo, cioè \(d(x,y)=d(xy^{-1},e)=d(y^{-1}x,1)\) per ogni \(x,y\in X\).
[²]: Il problema è che questa estensione può benissimo non essere unica, anche se soggetta a tutte le condizioni che vuole Graev.
[³]: sia $(E,d)$ uno spazio metrico; sull'insieme \(E^\star\) delle liste a valori in $E$ definisco una metrica che dice che \(r(\vec x,\vec y) = \sum_{i=1}^n d(x_i, y_i)\) se \(\vec x,\vec y\) sono liste della stessa lunghezza, ed è infinita altrimenti.
Risposte
Sparo a caso la prima cosa che mi è venuta in mente tanto meglio di così non riesco a contribuire 
Dato che $d(x,y)=d(xy^(-1),e)$, potresti definire in modo tale che $d([ab],e)=d([a],e)d(,e)$ dove $a$e e $b$ sono stringhe e $ab$ è la loro giustappozione.
Non ho controllato niente e probabilmente non funziona, ma chissà
Dato che $d(x,y)=d(xy^(-1),e)$, potresti definire in modo tale che $d([ab],e)=d([a],e)d(,e)$ dove $a$e e $b$ sono stringhe e $ab$ è la loro giustappozione.
Non ho controllato niente e probabilmente non funziona, ma chissà
Non l'ho specificato ma intendevo che se una lettera compare alla $-1$ bisogna elevare anche la distanza da $e$ alla $-1$, anche se ripensandoci mi sa che è una conseguenza.
Ah, alla fine sono riuscito a dimostrare esattamente quello che speravo fosse vero.
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