Matrici simmetriche nilpotenti
Ciao a tutti, non riesco ad affrontare questo esercizio:
Se \(\displaystyle S \in \mathbb{R^{n,n}} \) è una matrice simmetrica tale che \(\displaystyle S^m=0 \) per qualche \(\displaystyle m \), cosa possiamo dire degli autovalori di \(\displaystyle S \)? La matrice è necessariamente nulla?
Ciò che so è che una matrice simmetrica ha esclusivamente autovalori reali, mentre per il resto è facile verificare che:
e dato che \(\displaystyle \mathbf{v} \neq 0 \) è necessario che \(\displaystyle \lambda^m = 0 \). Quindi una matrice nilpotente ha autovalori tutti nulli esatto?
Concludendo posso dire che la matrice che sto cercando avrà autovalori tutti nulli, ma non so come rispondere all'altra domanda dell'esercizio...
Spero possiate aiutarmi, grazie a tutti per l'attenzione!
Se \(\displaystyle S \in \mathbb{R^{n,n}} \) è una matrice simmetrica tale che \(\displaystyle S^m=0 \) per qualche \(\displaystyle m \), cosa possiamo dire degli autovalori di \(\displaystyle S \)? La matrice è necessariamente nulla?
Ciò che so è che una matrice simmetrica ha esclusivamente autovalori reali, mentre per il resto è facile verificare che:
\(\displaystyle S^m = 0 \)
\(\displaystyle S^m\mathbf{v}=\lambda^m\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
e dato che \(\displaystyle \mathbf{v} \neq 0 \) è necessario che \(\displaystyle \lambda^m = 0 \). Quindi una matrice nilpotente ha autovalori tutti nulli esatto?
Concludendo posso dire che la matrice che sto cercando avrà autovalori tutti nulli, ma non so come rispondere all'altra domanda dell'esercizio...
Spero possiate aiutarmi, grazie a tutti per l'attenzione!
Risposte
"LogicalCake":
Ciao a tutti, non riesco ad affrontare questo esercizio:
Se \(\displaystyle S \in \mathbb{R^{n,n}} \) è una matrice simmetrica tale che \(\displaystyle S^m=0 \) per qualche \(\displaystyle m \), cosa possiamo dire degli autovalori di \(\displaystyle S \)? La matrice è necessariamente nulla?
Ciò che so è che una matrice simmetrica ha esclusivamente autovalori reali, mentre per il resto è facile verificare che:
\(\displaystyle S^m = 0 \)
\(\displaystyle S^m\mathbf{v}=\lambda^m\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
e dato che \(\displaystyle \mathbf{v} \neq 0 \) è necessario che \(\displaystyle \lambda^m = 0 \). Quindi una matrice nilpotente ha autovalori tutti nulli esatto?
Concludendo posso dire che la matrice che sto cercando avrà autovalori tutti nulli, ma non so come rispondere all'altra domanda dell'esercizio...
Spero possiate aiutarmi, grazie a tutti per l'attenzione!
Innanzitutto dato che la matrice è nilpotente l'unico autovalore è $0$ come hai mostrato tu, inoltre poiché la matrice è simmetrica ed è definita sul campo reale per il teorema spettrale è diagonalizzabile e la matrice diagonale corrispondente ha sulla diagonale gli autovalori che però abbiamo detto essere solo $0$ quindi la matrice nulla, poiché la matrice nulla è simile solo a se stessa automaticamente $S=0$.
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