Forme quadratiche

[Marytex]

Salve, vorrei solo un' informazione su come risolvere questo esercizio.
Ho una forma quadratica $q: M2(R)-> R$
cosi definita $ q(x1 x2 x3 x4)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x3-x4)^2$
(La prima parte è una matrice 2x2 scusate ma non riesco a scriverla)

devo trovare la base di $M2(R)$ che la diagonalizza. Io l'ho risolto con la matrice associata 4x4.. ma secondo me non è giusto. Anche perchè così la base trovata è un insieme di vettori di $R^4$.. mi potete dare solo un input. grazie =)

[vlander]

Un metodo noioso consiste nel seguire la dimostrazione del teorema di Lagrange. Siccome non ci vogliamo male però usiamo il teorema spettrale che dice che ogni endomorfismo è diagonalizzabile rispetto una base ortonormale. Allora prendi ad esempio la base standard di $M_2(\mathbb{R})$, trovi la matrice associata a $q$ rispetto tale base, trovi una base ortonormale di autovettori e rispetto a tale base la matrice è congruente(conseguenza del teorema spettrale) ad una matrice diagonale. Ora sì, come ben dicevi gli autovettori che hai trovato sono elementi di $\mathbb{R}^4$, ma sono le coordinate rispetto la base standard di $M_2(\mathbb{R})$ della base che stai cercando.
Quello che hai fatto è giusto, devi solo passare dalle coordinate ai vettori dello spazio vettoriale.
L'esercizio è tutto tuo

[Marytex]

ok grazie ci proverò =)