[RISOLTO]aiutatemi :(((

[Shadownet614]

salve, ho un esercizio con due sottospazi U {(x+y+z+t=0,-x-y+2t=0,x+y+z=0)} e W {(y=0,x+z=0)} con entrambi (x,y,z,t) € R^4
Mi chiede di determinare una base e dimensione di U il problema è che non riesco a ricavare le basi dalle equazioni che mi vengono date. Ho provato a seguire una lezione su youtube ma pur credendo di aver capito all'atto pratico mi trovo in enorme difficoltà. Ho provato a isolare z e t come parametri assegnando rispettivamente s e v ma non so continuare. Qualcuno mi potrebbe gentilmente elencare tutti i passaggi? grazie

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Ti aiuto per $U={(x,y,z,t)inRR^4:x+y+z+t=0,-x-y+2t=0,x+y+z=0}$

Bisogna impostare e risolvere il sistema:

${(x+y+z+t=0),(-x-y+2t=0),(x+y+z=0):} Rightarrow ... Rightarrow {(y=-x),(z=0),(t=0):}$

cioè

$U={(x,-x,0,0):x in RR}={x(1,-1,0,0):x in RR}=mathcalL{(1,-1,0,0)}$

Quindi $dimU=1$ e una sua base è data da ${(1,-1,0,0)}$ (salvo possibili miei errori di calcolo...).

Prova, ora, a ragionare su $W$.

Saluti.

[Shadownet614]

ho risolto poi entrambe , ora il secondo quesito mi dice di trovare una rappresentazione cartesiana di U+W , come procedo? Uso le equazioni già date con U e W ? Devo mettere poi a sistema?

[Shadownet614]

ho trovato una base per W che mi viene (-1,0,1,0) e poi fatto un sistema con le due basi di U e W
{x-y=0
-x+z=o}
ma non mi trovo col risultato dell'esercizio
come non detto mi trovo alla fine bastava scrivere l'equazione ax+by+cz+dw=0 sostituendo a x, y e z i valori dei vettori di U e W .

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Se non ho sbagliato calcoli, si dovrebbe avere:

$U=mathcalL{(1,-1,0,0)}$
$W=mathcalL{(1,0,-1,0),(0,0,0,1)}$

Allora

$U+W=mathcalL{(1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(0,0,0,1)}$

Considerando la combinazione lineare generica di questi tre vettori (linearmente indipendenti)

$a(1,-1,0,0)+b(1,0,-1,0)+c(0,0,0,1)=(a+b,-a,-b,c)=(x,y,z,t)$

si ricava che $c=t$, $-b=z$, $-a=y$, per cui $a+b=-y-z$.

Allora $U+W={(-y-z,y,z,t)in RR^4:y,z,t in RR}={(x,y,z,t)in RR^4:x=-y-z}$

Oppure

$U+W={(x,y,z,t)in RR^4:x+y+z=0}$

Saluti.