Applicazione lineare
Questo esercizio mi manda in crisi perchè non riesco a scrivere la matrice associata... Qualcuno può aiutarmi?
Sia $f$un'applicazione lineare di $R^3$ in $R^4$ definita da:
$f( (1) , (0) , (0) ) = ( (1) , (2) , (1) , (0) )$
$f( (0) , (1) , (0) ) = ( (2) , (4) , (2) , (0) )$
$f( (0) , (0) , (1) ) = ( (0) , (3) , (6) , (3) )$
L'esercizio è diviso in tre punti.. Li scrivo per completezza, però fondamentalmente mi interessa capire come scrivere la matrice associata
a) descrivere ker e Im determinandone dimensione e una base
b) determinare $f( (1) , (2) , (3) )$
c) dimostrare che $f$ non è suriettiva ed esibire $( (x) , (y) , (z) ) notin Im(f)$
Sia $f$un'applicazione lineare di $R^3$ in $R^4$ definita da:
$f( (1) , (0) , (0) ) = ( (1) , (2) , (1) , (0) )$
$f( (0) , (1) , (0) ) = ( (2) , (4) , (2) , (0) )$
$f( (0) , (0) , (1) ) = ( (0) , (3) , (6) , (3) )$
L'esercizio è diviso in tre punti.. Li scrivo per completezza, però fondamentalmente mi interessa capire come scrivere la matrice associata
a) descrivere ker e Im determinandone dimensione e una base
b) determinare $f( (1) , (2) , (3) )$
c) dimostrare che $f$ non è suriettiva ed esibire $( (x) , (y) , (z) ) notin Im(f)$
Risposte
Ciao.
La matrice $A$ che devi cercare è una matrice a quattro righe e tre colonne tale che:
$A*((1),(0),(0))=((1),(2),(1),(0))$
$A*((0),(1),(0))=((2),(4),(2),(0))$
$A*((0),(0),(1))=((0),(3),(6),(3))$
Siccome i vettori di $RR^3$ a cui la matrice risulta applicata sono proprio quelli della base canonica, il conto è banale e si ottiene, semplicemente:
$A=((1,2,0),(2,4,3),(1,2,6),(0,0,3))$
Saluti.
La matrice $A$ che devi cercare è una matrice a quattro righe e tre colonne tale che:
$A*((1),(0),(0))=((1),(2),(1),(0))$
$A*((0),(1),(0))=((2),(4),(2),(0))$
$A*((0),(0),(1))=((0),(3),(6),(3))$
Siccome i vettori di $RR^3$ a cui la matrice risulta applicata sono proprio quelli della base canonica, il conto è banale e si ottiene, semplicemente:
$A=((1,2,0),(2,4,3),(1,2,6),(0,0,3))$
Saluti.
Ok grazie!!!!!!!! Questo per il teorema di rigidità delle applicazioni lineari giusto??
Per il secondo punto puoi darmi qualche suggerimento?
Per il secondo punto puoi darmi qualche suggerimento?
Ho sfruttato, semplicemente, la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare, per cui si deve avere
$A*v=f(v)$
quindi la risoluzione del punto (b) è immediata:
$f((1),(2),(3))=A*((1),(2),(3))$
Saluti.
$A*v=f(v)$
quindi la risoluzione del punto (b) è immediata:
$f((1),(2),(3))=A*((1),(2),(3))$
Saluti.
Cavolo, non ci avevo riflettuto per bene..! Grazie!
Per l'ultimo punto, invece, non mi è chiara la richiesta.. Cosa deve essere esibito come non appartenente all'immagine di f?
Per l'ultimo punto, invece, non mi è chiara la richiesta.. Cosa deve essere esibito come non appartenente all'immagine di f?
Siccome l'applicazione lineare $f$ non può essere suriettiva (perchè è definita da $RR^3$ a $RR^4$, per cui $dimImf<=3<4=dimRR^4$), si tratta di trovare un vettore del codominio $RR^4$ che non appartenga all'immagine di $f$.
Se hai svolto il primo punto, dovresti aver trovato che $Kerf=mathcalL{(-2,1,0)}$, quindi $dimKerf=1$; allora, dal teorema nullità + rango ne dovrebbe conseguire che $dimImf=2$.
Effettivamente, considerando le immagini dei vettori della base canonica di $RR^3$ (dati noti dall'ipotesi), si avrebbe:
$Imf=mathcalL{(1,2,1,0),(2,4,2,0),(0,3,6,3)}$
Si noti che il secondo vettore coincide con il doppio del primo, per cui
$Imf=mathcalL{(1,2,1,0),(0,3,6,3)}$
il che conferma che $dimImf=2$, visto che i due vettori superstiti sono chiaramente linearmente indipendenti.
A questo punto si tratta di trovare un qualsiasi vettore di $RR^4$ che non sia combinazione lineare dei due vettori $(1,2,1,0),(0,3,6,3)$ che generano $Imf$, per esempio il vettore $(1,2,1,1)$.
Saluti.
Se hai svolto il primo punto, dovresti aver trovato che $Kerf=mathcalL{(-2,1,0)}$, quindi $dimKerf=1$; allora, dal teorema nullità + rango ne dovrebbe conseguire che $dimImf=2$.
Effettivamente, considerando le immagini dei vettori della base canonica di $RR^3$ (dati noti dall'ipotesi), si avrebbe:
$Imf=mathcalL{(1,2,1,0),(2,4,2,0),(0,3,6,3)}$
Si noti che il secondo vettore coincide con il doppio del primo, per cui
$Imf=mathcalL{(1,2,1,0),(0,3,6,3)}$
il che conferma che $dimImf=2$, visto che i due vettori superstiti sono chiaramente linearmente indipendenti.
A questo punto si tratta di trovare un qualsiasi vettore di $RR^4$ che non sia combinazione lineare dei due vettori $(1,2,1,0),(0,3,6,3)$ che generano $Imf$, per esempio il vettore $(1,2,1,1)$.
Saluti.
Chiarissimo! Grazie mille. Giusto per completezza, se volessi verificare che effettivamente $ ( (1) , (2) , (1) , (1) )$ non appartiene a $Im(f)$ come dovrei fare?
Semplice: ponendo la condizione
$(1,2,1,1)=a(1,2,1,0)+b(0,3,6,3)=(a,2a+3b,a+6b,3b)$
verifichi che il sistema
${(a=1),(2a+3b=2),(a+6b=1),(3b=1):}$
è impossibile, di conseguenza $(1,2,1,1)notinImf=mathcalL{(1,2,1,0),(0,3,6,3)}$.
Saluti.
$(1,2,1,1)=a(1,2,1,0)+b(0,3,6,3)=(a,2a+3b,a+6b,3b)$
verifichi che il sistema
${(a=1),(2a+3b=2),(a+6b=1),(3b=1):}$
è impossibile, di conseguenza $(1,2,1,1)notinImf=mathcalL{(1,2,1,0),(0,3,6,3)}$.
Saluti.
Grazie mille, gentilissimo ed estremamente chiaro!!! Grazie ancora!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo