Verificare se un'applicazione è lineare per certi valori di k

[EveyH]

Ciao, ho questo esercizio:
Sia data l'applicazione \(\displaystyle F: R^2 -> R^2 \) definita da: \(\displaystyle F(x,y)=(x+2ky, x-y). \)
Si determinino i valori di k per i quali l'applicazione è lineare.

A me sembra una domanda a trabocchetto. La risposta è che è lineare per qualsiasi valore di k, o no?
Fondamentalmente perché non ci sono esponenti diversi da 1, ed inoltre essendo k un semplice coefficiente di y, il suo valore è ininfluente ai fini della questione.
Ma se davvero dovessi fare una verifica algebrica, come dovrei procedere?

Questo invece mi sembra più difficile:
Sia data l'applicazione \(\displaystyle F: R^1[x] -> R^2[x] \) definita da:
\(\displaystyle F(ax+b)=(a-b)x^2+kb^2x+2a \).
Si determinino i valori di k per i quali l'applicazione è lineare.

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto ciao.

"EveyH":
Sia data l'applicazione \( \displaystyle F: R^2 -> R^2 \) definita da: \( \displaystyle F(x,y)=(x+2ky, x-y). \)
Si determinino i valori di k per i quali l'applicazione è lineare.

A me sembra una domanda a trabocchetto. La risposta è che è lineare per qualsiasi valore di k, o no?
Fondamentalmente perché non ci sono esponenti diversi da 1, ed inoltre essendo k un semplice coefficiente di y, il suo valore è ininfluente ai fini della questione.

Direi proprio di si; nelle applicazioni lineari si ha a che fare, in sostanza, con componenti di vettori date da polinomi di primo grado in più variabili e, aggiungerei rispetto alla citazione sopra riportata, con termini noti nulli.

"EveyH":
Ma se davvero dovessi fare una verifica algebrica, come dovrei procedere?

Basta applicare la definizione di applicazione lineare: sia data l'applicazione

$F:RR^2 rightarrow RR^2$ con $F(x,y)=(x+2ky, x-y)$

si vuole verificare la linearità di $F(x,y)$.

Linearità rispetto alla somma tra vettori:

Siano $v_1=(x_1,y_1),v_2=(x_2,y_2)inRR^2$, per cui $v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)$; vale

$F(v_1+v_2)=((x_1+x_2)+2k(y_1+y_2),(x_1+x_2)-(y_1+y_2))$

$F(v_1+v_2)=((x_1+2ky_1)+(x_2+2ky_2),(x_1-y_1)+(x_2-y_2))$

$F(v_1+v_2)=(x_1+2ky_1,x_1-y_1)+(x_2+2ky_2,x_2-y_2)=F(v_1)+F(v_2)$

Linearità rispetto al prodotto scalare-vettore:

Siano $alphainRR$ e $v=(x,y)inRR^2$, per cui $alphav=(alphax,alphay)$; vale

$F(alphav)=(alphax+2kalphay, alphax-alphay)=alpha(x+2ky, x-y)=alphaF(v)$

Fatto.

"EveyH":
Questo invece mi sembra più difficile:
Sia data l'applicazione \( \displaystyle F: R^1[x] -> R^2[x] \) definita da:
\( \displaystyle F(ax+b)=(a-b)x^2+kb^2x+2a \).
Si determinino i valori di k per i quali l'applicazione è lineare.

Basta verificare le proprietà di linearità e ci si rende conto che $F$ è lineare solo quando $k=0$; precisamente, si prova (con qualche conto) che, dati $a_1x+b_1,a_2x+b_2 in RR^1[x]$ che

$F((a_1x+b_1)+(a_2x+b_2))=F(a_1x+b_1)+F(a_2x+b_2)$ solo se $k=0$

Una volta posto $k=0$, si dimostra che, dati $alpha in RR,ax+b in RR^1[x]$, vale

$F(alpha(ax+b))=alphaF(ax+b)$

Saluti.