Equazione parametrica del piano

[Marli44]

Scrivere l'equazione parametrica del piano passante per l'asse z e parallelo alla retta
{x+2y-z =1 }
{2x-y+4z =2 }

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Immagino che per piano "passante" per l'asse z si intenda nel senso di "contenente" l'asse z, giusto?

Supponendo ciò, dato un punto $P=(x_p,y_p,z_p)$, si devono trovare due vettori linearmente indipendenti $vecv=(v_x,v_y,v_z)$ e $vecw=(w_x,w_y,w_z)$ giacenti nel piano cercato e applicati al punto $P$ in modo che

${(x(t,s)=x_p+tv_x+sw_x),(y(t,s)=y_p+tv_y+sw_y),(x(t,s)=z_p+tv_z+sw_z):}$

soddisfi i requisiti richiesti.

Siccome il piano deve contenere l'asse z, si può assumere che $P=O=(0,0,0)$ e che $vecv=(0,0,1)$, quindi si otterrebbe

${(x(t,s)=sw_x),(y(t,s)=sw_y),(x(t,s)=t+sw_z):}$

che rappresenta, al variare di $w_x,w_y,w_z$, tutti i piani contenenti l'asse z.

Ora si tratta di cercare un opportuno vettore $vecw$ in modo da trovare, tra tutti quei piani, quello parallelo alla retta assegnata; per fare ciò basta richiedere che $vecw$ sia contemporaneamente ortogonale ai vettori $(1,2,-1)$ e $(2,1,4)$, che sono vettori normali ai due piani che costituiscono la retta data.

Calcolando il prodotto vettoriale tra questi due ultimi vettori, si può porre

$vecw=(1,2,-1) xx (2,1,4)=(7,-6,-5)$ (conti omessi).

Il risultato finale sarebbe, quindi, dato da

${(x(t,s)=7s),(y(t,s)=-6s),(x(t,s)=t-5s):}$

Spero di essere stato utile.

Saluti.