Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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E' vero che, data una matrice $A$ e dato un suo autovalore $lambda$,
La molteplicità geometrica di $lambda$ (cioè la dimensione dell'autospazio corrispondente) è uguale alla molteplicità con cui $lambda$ appare come radice del polinomio minimo di $A$??
Sto studiando algebra lineare, sono arrivato al polinomio minimo e al teorema Cayley-Hamilton, qualsiasi materiale sarebbe prezioso
Grazie
Allora non mi è ben chiara una parte della dimostrazione secondo cui $[0,1]$ è compatto.
Sia $A={V_i}_(iinI)$ una famiglia di aperti di $RR^+$. Poniamo $X={tinRR^+| [0,t]subB_1uu...uuB_n$ numero finito di elementi di $A}$ e $y=s up_{tinX}(t)$. Perchè $y!=0$? In teoria non si potrebbe avere che $X={0}$ da cui $y=0$? (ovviamente so che $[0,t]$ è sempre un compatto per $tinRR^+$ però ovviamente qua suppongo di non sapere come sono ...
Al variare del parametro reale t, si considerino le seguenti rette dello spazio affine reale $A^3$(R)
r: $\{(x+z=1), (y-tz=0):}$ e s: $\{(x-z=-1), (y+tz=0) :}$ . Studiare la posizione reciproca delle rette, cioè per quali valori di t le rette sono sghembe, incidenti, parallele, coincidenti.
Vorrei sapere se il mio procedimento é giusto:
1) individuo le coordinate di un punto R $in$ r, S $in$ s, dove R=(x, y, z) e S=(x’, y’,z’)
2) determino i vettori direttori Vr=(l, m, ...
Siccome oggi voglio farmi odiare volevo provare a risolvere un altro dubbio che mi era sorto stamane e cui forse solo ora ho trovato risposta. Tuttavia non mi fido molto del mio intuito e volevo chiedere un parere di correttezza del ragionamento.
Il mio professore ha detto che vi è legame tra span lineare e sistema di generatori, in realtà non si è addentrato molto in questo legame, tuttavia sempre svolgendo gli esercizi mi accorgo che vale qualcosa del genere che ho provato a formalizzare ...
Ho i seguenti sottospazi affini di $R^4$ : L: $\{(x-2y-3z+2w=0), (x+y+z-1=0), (x+y-3w-1=0):}$ M: $\{(y+z+w-1=0), (x+z-3w-1=0), (x-y+w-3=0):}$ .
L’esercizio mi chiede di determinare il più piccolo sottospazio affine che contiene L e M.
La mia idea è stata di considerare L e M come due rette e calcolare l’equazione del piano che le contiene entrambe. È sbagliato? Se si, come potrei farlo?
Grazie per l’aiuto.
Mi sono accorto svolgendo alcuni esercizi che non mi è del tutto chiaro un fatto che sfrutto.
Mi spiego:
quando ho un insieme definito da equazioni omogenee (aka ho un sistema lineare definente un insieme) trovo da queste lo spazio delle soluzioni (che è sottospazio di $RR^n$). E' abbastanza semplice dimostrare infatti che un tale sistema (definito per caratteristica da equazioni omogenee) E' sottospazio vettoriale.
Detto questo, di solito ci si riduce a valutare il rango della ...
Su $S^1$ si consideri la relazione di equivalenza di antipodalità $∼_a$, cioè per ogni $p, q in S^1$ si ha che $p ∼_a q $ se e solo se $p = q$ o $p =-q$. Si provi che lo spazio topologico quoziente è omeomorfo a $S^1$.
Allora io come omeomorfismo ho preso $f(x,y)=(sgn(x)y,-|x|)$. In poche parole ho considerato la semicirconferenza superiore e in cui vanno uniti i due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ poichè equivalenti, cosi ...
Buonasera,
ho un esercizio in cui mi si chiede di trovare, prima, seconda forma fondamentale, operatore di Weingarten e curvature principali.
Fino all'operatore di Weingarten ci sono arrivata, e poi non riesco ad andare avanti ....
La superficie è descirtta da $z = \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4}$ e una parametrizzazione è $x = u, y = v, z = \frac{u^{2}}{9} - \frac{v^{2}}{9}$.
Per la prima forma fondamentale derivo rispetto ad $u$ e a $v$ e ottengo $X_{u}, X_{v}$ e con i prodotti scalari trovo i coefficienti della ...
Ciao, vorrei chiedere una mano su una domanda che mi sono posto ma su cui non so come rispondermi in modo corretto.
Stavo risolvendo un sistema in cui sono giunto ad avere:
$a_1=(w_2-w_1+a_2)/2$
$a_3=w_1-a_2$
$a_2=t$
Ove a1, a2, a3 sono le incognite e w2 e w2 due parametri che posso scegliere liberi fin dall'inizio e t è il parametro libero dovuto al fatto di avere risolto il sistema per rouche capelli.
Ad ogni modo, la domanda esula un po' da questo ma mi accorgo intuitivamente ...
Ciao ragazzi,
Giorni fa leggendo alcune dispense di Algebra Lineare e Geometria (quelle famose di Cailotto) mi sono imbattuto in una definizione di ortogonalità.
Parlando di Spazi Vettoriali e basi, era la prima volta che leggevo una definizione del concetto ma, intuitivamente l'ho colto abbastanza bene in quanto è semplicemente un'estensione di quello che ci hanno spiegato alle scuole superiori, e fin qui tutto ok...
Ragionando sulla definizione però, non sono riuscito a coglierne il senso, ve ...
Buongiorno. Ho un dubbio riguardo questa dimostrazione del seguente teorema.
Sia $W$ un sottospazio vettoriale di dimensione $n$ di $(V, <,>)$. Allora $V=W+W^bot$.
La dimostrazione che studio è la seguente: sia ${e_1,...,e_n}$ una base ortonormale di $W^n$. Sia $v_w=sum_{i=1}^n <v,e_i>e_i$ la proiezione ortogonale di $v$ su $W^bot$ e riscrivo $v = v_w+(v-v_w)$. So che $v_w$ sta in $W$ e devo ...
Ciao, cerco un aiuto per decifrare delle note del professore (forma registrata) dello scorso anno di cui non ho la registrazione video e non riesco davvero a capire il ragionamento.
Siamo nel contesto sottospazi vettoriali:
$A={p(x) in RR_5[x]| P(1)=P(2)=p(3)=0}$
semplice e sercizio in cui vuole dimostrare essere sottospazio vettriale di $R_5[x]$.
Parte senza alcuna nota dicendo:
$p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a_1)(x-a_2)=(x-1)(x-2)(x-3)(c_0+c_1+c_2x^2)$
e poi dice verifico la chiusura per la ...
Siano $A={(x,y,z)inS^2| x^2+y^2+z^2=1, z!=pm1}$, $B={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2=1}$, $C={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2=1, -1<z<1}$, $D={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2-z^2=1}$. Determinare un omeomorfismo esplicito tra questi sottoinsiemi.
Allora intanto mi basta trovare degli omeomorfismi da $B$ ad $A$, da $B$ a $C$ e da $C$ a $D$ e poi tutti gli altri li trovo come composizione o inversa di questi. Per trovarli ho fatto questi disegni:
Per ...
Mi servirebbe capire "graficamente" il motivo per cui :
data l'equazione del generico cono :
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
Possiamo ottenere l'equazione del cilindro: $x^2+y^2=r^2$
semplicemente impostando $z=0$ ed $a=b=r$ , $c=h$ ed assumendo che il cono sia con vertice nell'origine
Sia $X$ uno spazio localmente compatto e di Hausdorff.
Sia $K$ un compatto e $U$ un aperto di $X$ t.c. $K sube U$. Sia poi $V$ un intorno aperto di $K$ tale che la chiusura di $V$ è contenuta in $U$.
Sia $rho:X->[0,1]$ definita da $rho(x)=h(x)$ se $x$ è nella chiusura di $V$, altrimenti $rho(x)=0$, dove $h:A->[0,1]$ è tale che ...
Sia $XsubeRR$ e sia $f:X->RR$ continua e iniettiva. Si dimostri che $f(X)$ è un intervallo.
Ovviamente questa dimostrazione può essere fatto usando il teorema dei valori medi, ma volevo capire se ci fosse anche una dimostrazione "topologica". Per dimostrare che $f(X)$ è un intervallo, presi $a,binf(X)$ con $a<=b$ devo mostrare che $[a,b]subef(X)$. Sappiamo che $[a,b]$ è un chiuso di $RR$ per cui $f^-1[a,b]$ è ...
buongiorno,
potreste consigliarmi un testo che tratti la teoria delle trasformazioni geometriche? grazie
Buongiorno a tutti,
se mi è data un'applicazione lineare F: R3 --> R3, definita tramite le componenti di 3 vettori qualsiasi, es.
F(1,0,0) = (2, 3, 1), F(1,1,0) = (0, 2, 4), F(1,1,1) = (-2, 1, 3).
Se mi chiede di calcolare Ker(F) e Im(F), posso riferirmi alla matrice associata alla base non canonica, costituita dai 3 vettori che definiscono F? O devo riportare tutto alla base canonica?
Nel primo caso, per costruire la matrice di F, devo calcolare le componenti delle immagini dei 3 vettori, ...
Salve, mi date una mano a capire se il ragionamento è corretto?
Considerate le due rette seguenti
$r : x = 2 , z = 0 ; s : x = y , y = z$
scrivere l'equazione della retta passante per il punto $A(3,0,1)$ incidente a $r$ ed $s$
Ho ricavato le direzioni di r ed s che sono $Vr(1,-1,0)$ e $Vs(1,1,1)$. I numeri direttori della retta cercata $(a,b,c)$ devono dipendere linearmente da Vr e Vs perchè se sono incidenti le 3 rette devono essere complanari. Quindi il ...
Ciao,
ho problemi con due quia di Algebra e geometria in cui le risposte mi sembrano un po' ambigue. Qualcuno mi darebbe una mano? Grazie
- Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale affermazione è corretta?
a) Le matrici sono identiche
b) Le matrici non sono invertibili.
c) Le matrici sono invertibili
d) Nessuna delle precedenti.[/list:u:3hbsdzi3]
- Sia A quadrata di ordine n=3 e rango=1, allora A
a) ha tutti gli autovalori distinti
b) ha solo ...
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