Dubbio dimostrazione somma diretta v ortogonale

[dattolico_007]

Ciao ragazzi ho un dubbio su una dimostrazione.
Il teorema dice:
Sia $b:VxV->K$ una forma bilineare simmetrica e $v\inV$ un vettore non isotropo rispetto a $b$ ($b(v,v)!=0_V$). Allora si ha $V=o+v^_|_ $.
Quindi prima dimostra che l'intersezione è vuota e poi deve dimostrare che $\forall w \in V, \exists v'\in, u \inv^_|_ t.c. w=v'+u$.
E fa così:
Sia $w\in V$ e definiamo $a_v(w)=(b(v,w))/(b(v,v)) \in K$ (coefficiente di Fourier). Si pone $v'=a_v(w)*v$ con $v'\in$ e $u=w-v'$. Si prova che $u\in v^_|_$
E quindi dimostra questa cosa con qualche passaggio algebrico abbastanza semplice. Ora quello che non capisco è perché la dimostrazione si ferma qui. Cioè dopo aver provato che $u\in v^_|_$ perché è automaticamente dimostrato che ogni vettore di V si scrive come somma di quei due? Cosa mi sono perso?
Grazie mille anticipatamente

[ViciousGoblin]

che $u+v'=w-u'+u'=w$
(questo lo fai per ogni $w$ - naturalmente la decomposizione cambia se $w$ cambia!)

[dattolico_007]

Se io dimostro che $u\in v^_|_$ vuol dire che $b(u,v)=0$ ma perché questo implica che $w=v'+u$ ?
Cioè se io dalla relazione $w=v'+u$ ricavo $u=w-v'$ è ovvio che se poi faccio $u+v'$ mi trovo $w$.
Continuo a non capire

[ViciousGoblin]

"paolo1712":Se io dimostro che $u\in v^_|_$ vuol dire che $b(u,v)=0$ ma perché questo implica che $w=v'+u$ ?
Cioè se io dalla relazione $w=v'+u$ ricavo $u=w-v'$ è ovvio che se poi faccio $u+v'$ mi trovo $w$.
Continuo a non capire

Allora.
Devi dimostrare che ogni elemento di $X$, chiamiamolo $w$ è somma di un multiplo di $v$, che chiameremo $v'$ e di un elemento ortogonale a $v$.
Dato $w$ definiamo $v':=a_v(w)v$. Sei d'accordo che$v'$ è un multiplo di $v$ ?
Ora $w=v'+(w-v')$ e se dimostri che $(w-v')$ è ortogonale a $v$ hai finito.

[dattolico_007]

Ah ora è chiaro, era più banale di quanto credessi ahah.
Ti ringrazio, gentilissimo