Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, è corretto il ragionamento per risolvere questo problema?
Dato il punto A(1,1,1) e la retta r: x+y=0, z=0 trovare la retta passante per A incidente e ortogonale alla retta r.
ho ricavato la direzione di r Vr come determinante della matrice che sulla prima riga ha i versori i, j, k seconda e terza riga i numeri direttori dei due piani che definiscono r, ottenendo Vr(1,-1,0). Mi trovo il piano alpha ortogonale a r passante per A imponendo che i numeri direttori di questo piano siano ...
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di geometria 2 e mi sto esercitando sulle prove scritte. C'è questo quesito che non riesco a risolvere:
Sia $Q^+(7,q)$ la quadrica iperbolica di $PG(7,q)$ lo spazio proiettivo di dimensione sette sul campo di Galois $\mathbb{F}_q$ con $q$ elementi, $q$ dispari. Siano $Q_1=\pi_1 \cap Q^+(7,q)$ e $Q_2=\pi_2 \cap Q^+(7,q)$ due quadriche ellittiche $Q^{-}(5,q)$, dove $\dim \pi_1=\dim \pi_2=5$ e $\dim(\pi_1 \cap \pi_2)=3$. Provare che esiste ...
Salve, potreste verificare se effettivamente non esiste la retta ricercata dal seguente quesito?
Determinare la retta s passante per il punto A(1,1,1) parallela al piano alpha x+y+z+1=0 incidente alla retta r : x+y=0 e z=0.
I numeri direttori del piano sono (1,1,1). Il generico punto P della retta r è P(t,-t,0) quindi il vettore direzione AP è P-A=(t-1, -t-1, -1). La condizione di parallelismo tra retta s e piano alpha (il prodotto scalare della direzione di s con la normale al piano alpha ...
Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto sulla diagonalizzabilità di applicazioni lineari e matrici.
Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà:
Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k.
L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1).
Una ...
Ciao a tutti.
Ho questa combinazione lineare di polinomi:
$1(x^2-x)+(-1)(2x+3)+2(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Devo trovare una combinazione lineare diversa degli stessi polinomi ma con lo stesso risultato.
Nella soluzione comincia scrivendo la combinazione generica:
$a_1(x^2-x)+a_2(2x+3)+a_3(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Che viene poi riscritta così:
$(a_1+2a_3-5)x^2+(-a_1+2a_2+3)x+(3a_2+3_a3-3)=0$
Che è l'equivalente del sistema
$\{(a_1+2a_3-5=0), (-a_1+2a_2+3=0), (3a_2+3_a3-3=0):}$
Le cui soluzioni sono $(a_1,a_2,a_3)=(2\alpha+3,\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha$ $in$ $RR$
Ora la mia è domanda è: Come è arrivato ad ...
Come è mio solito leggendo questo Forum, quando incontro cose che non conosco e che attirano la mia attenzione tendo a salvarle tra i preferiti per poi approfondirle quando ho un po' di tempo libero. In questo caso, come da titolo, sto rimuginando sull'esponenziale di matrice, che per motivi a me ignoti non abbiamo mai trattato in alcun corso, perlomeno tra quelli che ho seguito fino ad oggi.
In particolare, ad attirare la mia attenzione è stato questo post, dove "ho scoperto" che ...
Salve ragazzi avrei bisogno di aiuto nel completare la seguente dimostrazione.
Sia $(V,+,*)$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f:V->V$ un endomorfismo. Si dimostra le seguente uguaglianza.
$f$ è monomorfismo $hArr f$ è epimorfismo $hArr f$ è automorfismo $hArr$ la matrice $A_f$ è invertibile.
La parte che mi interessa è l'ultima doppia implicazione infatti ci è stata spiegata e dimostrata una proposizione ...
Buonasera, tra gli esercizi di esame una categoria molto frequente è quella di definire una base del nucleo e dell'immagine, come l'esercizio proposto.
Scrivere, in funzione del parametro reale k, una base del nucleo ed una dell’immagine dell’applicazione lineare
fk(x, y, z, t) = (t, x, 3x + y + kt, x + t).
Ora, in teoria, una mezza idea la ho per risolvere questo esercizio ed è:
1) Mi trovo la matrice associata alla applicazione lineare con le basi canoniche;
2) Determino la dimensione ...
Nello spazio vettoriale V = R2[x] dei polinomi di grado minore o uguale a due a coefficienti reali nell’indeterminata x si considerino le basi A = {1 + x, 1 − x, x2} e B = {1, x, x2}. Sia poi f l’endomorfismo di V rappresentato, rispetto alle basi A in dominio e B in codominio, dalla matrice
M=$((2,2,0), (0,2,-1), (2, 0, 1))$
Stabilire se esistono, ed in caso affermativo determinare, due basi C e D tali che la matrice che rappresenta f, rispetto alle basi C in dominio e D in codominio, ...
Buonasera. Avrei bisogno di una mano nella risoluzione del seguente esercizio:
Si consideri la matrice reale A = $((1,0,1), (0, 2, 0), (1, 2, 0), (0, 0 ,1))$
e sia LA : R3 → R4, l’applicazione lineare definita da LA(x) = Ax.
Stabilire se esistono una base B di R3 e una base C di R4 tali che la matrice che rappresentativa di LA, rispetto alle basi B in dominio e C in codominio, sia
M = ...
Buon pomeriggio, avrei bisogno del vostro aiuto.
Ho il seguente esercizio: Siano f: X→Y e g: Y→X applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita. Dimostrare che, se g(f(x)) è invettiva, allora f è invettiva e g è suriettiva.
Potreste aiutarmi? grazie in anticipo.
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
Quale dei seguenti punti del piano appartiene alla conica di equazione x²-3xy+2y²-3x-6=0?
1) (3 1)
2) (2 -1)
3) (-3 0)
4) (0 -2)
Io la prima cosa che ho fatto è stato calcolarmi il delta di b²-4ac, il cui risultato è 9-8=1, deducendo che la conica in questione, essendo delta>0, è un'iperbole, ma dopo di ciò non riesco a proseguire. Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.
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Studente Anonimo
8 feb 2023, 12:50
Salve, ho difficoltà a sviluppare il seguente esercizio:
Quale delle seguenti coniche è la conica del fascio di equazione λ(x-y+1)(2x+3y+1)+μ(x-2)(2x+y-3)=0 che passa per il punto di coordinate (-2 2)?
1)35(x-y+1)(2x+3y+1)+4(x-2)(2x+y-3)=0
2)20(x-y+1)(2x+3y+1)-3(x-2)(2x+y-3)=0
3)20(x-y+1)(2x+3y+1)+9(x-2)(2x+y-3)=0
4)3(x-y+1)(2x+3y+1)+2(x-2)(2x+y-3)=0
Potreste darmi una mano? Grazie.
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Studente Anonimo
6 feb 2023, 10:31
Salve, ho questo insieme :
E = {(x,y,z)∈ R^3 : x-2y-z = 0}⊆R^3
Devo dimostrare che E è un sottospazio di R^3
Il mio problema sorge proprio al primo passo perché dovrei trovare una relazione tra x,y,z tale che
messa in un vettore generico ammettono lo 0 , ma questa relazione non riesco a trovarla essendoci una sola equazione (a questo punto vorrei anche chiedere se questa è condizione necessaria oppure no affinché sia un sottospazio, perché in caso non fosse necessaria ho risolto ...
Salve scusate , sono ore che cerco di capire questo problema ma proprio non mi entra in testa,la domanda è=
Quante parole di 4 lettere (anche non di senso compiuto) posso formare con le lettere della parola ACONITO?
E quante se la lettera iniziale è O?
La risposta è 480 ,ma perchè?
Della 2 non conosco risposta
Buonasera ragazzi, sto studiando per l'esame di G&A e sto riscontrando dei problemi con questa tipologia di esercizio.
Scrivere una base di V1 ∩ V2 ed una di V1 + V2 dove:
V1 = {(x1, x2, x3, x4) | x1 + x2 = 0}
V2 =
Qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere? Grazie mille
Salve ragazzi.
La mia docente quando ha spiegato le forme bilineari, dopo aver dato la definizione ha introdotto un'applicazione lineare definita nel seguente modo.
Sia $b:VxV->K$ una forma bilineare allora $\forall u \in V t.c. b_u:V->K$ che $\forall v \in V: b_u(v) = b(u,v)$.
Si dimostra che $b_u$ è un'applicazione lineare e $b_u \in V^prime$ dove $V^prime$ è lo spazio duale (non potevo usare l'asterisco).
Poi considera l'applicazione di cui vi parlavo: $\delta:V->V^prime$ t.c. ...
Salve, vi chiedo gentilmente di spiegarmi passo per passo lo svolgimento del seguente esercizio:
Scrivere in forma implicita l'equazione del piano parallelo alla retta con forma parametrica
x=1-3λ
y=-4λ
z=-3+2λ
e passante per il punto P(3,-2,2).
Se può servire l'esercizio mi dà anche quattro opzioni di risposta:
1)2x-3y-2z-8=0
2)2x-5y-7z-1=0
3)2x-3y-2z-6=0
4)2x-5y-7z-2=0
Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
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Studente Anonimo
1 feb 2023, 10:46
ciao a tutti,non massacratemi per questo banale esercizio..
dovrei trovare l'equazione del piano passante per il punto P(0,1,2) e parallelo alla retta r:$\{(x- y = 0),(y= z-2):}$
fin'ora ho svolto solo esercizi di piani passante per 3 punti o rette passante per 2 o per un punto e paralleli a vettori..come si imposta questa tipologia di esercizio?
Salve a tutti,
potreste farmi vedere come risolvereste questo esercizietto?
Sia K = \(\displaystyle [(1,1),(-1,-1)] \) (matrice 2x2), e sia f l'endomorfismo di M2(R) definito da :
A -> AK. Determinare una base del nucleo di f.
Da quello che posso vedere, prese e1,e2,e3,e4 le basi standard di M2,
f(e1) = e1
f(e2) = e2
f(e3) = -e3
f(e4) = -e4
Il mio dubbio ora è come faccio a costruire la matrice associata? è una matrice di 8 colonne e 2 righe?
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