Geometria e Algebra Lineare

buongiorno, potreste consigliarmi un testo che tratti la teoria delle trasformazioni geometriche? grazie

Buongiorno a tutti, se mi è data un'applicazione lineare F: R3 --> R3, definita tramite le componenti di 3 vettori qualsiasi, es. F(1,0,0) = (2, 3, 1), F(1,1,0) = (0, 2, 4), F(1,1,1) = (-2, 1, 3). Se mi chiede di calcolare Ker(F) e Im(F), posso riferirmi alla matrice associata alla base non canonica, costituita dai 3 vettori che definiscono F? O devo riportare tutto alla base canonica? Nel primo caso, per costruire la matrice di F, devo calcolare le componenti delle immagini dei 3 vettori, ...

Salve, mi date una mano a capire se il ragionamento è corretto? Considerate le due rette seguenti $r : x = 2 , z = 0 ; s : x = y , y = z$ scrivere l'equazione della retta passante per il punto $A(3,0,1)$ incidente a $r$ ed $s$ Ho ricavato le direzioni di r ed s che sono $Vr(1,-1,0)$ e $Vs(1,1,1)$. I numeri direttori della retta cercata $(a,b,c)$ devono dipendere linearmente da Vr e Vs perchè se sono incidenti le 3 rette devono essere complanari. Quindi il ...

Ciao, ho problemi con due quia di Algebra e geometria in cui le risposte mi sembrano un po' ambigue. Qualcuno mi darebbe una mano? Grazie - Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale affermazione è corretta? a) Le matrici sono identiche b) Le matrici non sono invertibili. c) Le matrici sono invertibili d) Nessuna delle precedenti.[/list:u:3hbsdzi3] - Sia A quadrata di ordine n=3 e rango=1, allora A a) ha tutti gli autovalori distinti b) ha solo ...

Salve, è corretto il ragionamento per risolvere questo problema? Dato il punto A(1,1,1) e la retta r: x+y=0, z=0 trovare la retta passante per A incidente e ortogonale alla retta r. ho ricavato la direzione di r Vr come determinante della matrice che sulla prima riga ha i versori i, j, k seconda e terza riga i numeri direttori dei due piani che definiscono r, ottenendo Vr(1,-1,0). Mi trovo il piano alpha ortogonale a r passante per A imponendo che i numeri direttori di questo piano siano ...

Ciao a tutti, sto preparando l'esame di geometria 2 e mi sto esercitando sulle prove scritte. C'è questo quesito che non riesco a risolvere: Sia $Q^+(7,q)$ la quadrica iperbolica di $PG(7,q)$ lo spazio proiettivo di dimensione sette sul campo di Galois $\mathbb{F}_q$ con $q$ elementi, $q$ dispari. Siano $Q_1=\pi_1 \cap Q^+(7,q)$ e $Q_2=\pi_2 \cap Q^+(7,q)$ due quadriche ellittiche $Q^{-}(5,q)$, dove $\dim \pi_1=\dim \pi_2=5$ e $\dim(\pi_1 \cap \pi_2)=3$. Provare che esiste ...

Salve, potreste verificare se effettivamente non esiste la retta ricercata dal seguente quesito? Determinare la retta s passante per il punto A(1,1,1) parallela al piano alpha x+y+z+1=0 incidente alla retta r : x+y=0 e z=0. I numeri direttori del piano sono (1,1,1). Il generico punto P della retta r è P(t,-t,0) quindi il vettore direzione AP è P-A=(t-1, -t-1, -1). La condizione di parallelismo tra retta s e piano alpha (il prodotto scalare della direzione di s con la normale al piano alpha ...

Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto sulla diagonalizzabilità di applicazioni lineari e matrici. Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà: Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k. L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1). Una ...

Ciao a tutti. Ho questa combinazione lineare di polinomi: $1(x^2-x)+(-1)(2x+3)+2(2x^2+3)=5x^2-3x+3$ Devo trovare una combinazione lineare diversa degli stessi polinomi ma con lo stesso risultato. Nella soluzione comincia scrivendo la combinazione generica: $a_1(x^2-x)+a_2(2x+3)+a_3(2x^2+3)=5x^2-3x+3$ Che viene poi riscritta così: $(a_1+2a_3-5)x^2+(-a_1+2a_2+3)x+(3a_2+3_a3-3)=0$ Che è l'equivalente del sistema $\{(a_1+2a_3-5=0), (-a_1+2a_2+3=0), (3a_2+3_a3-3=0):}$ Le cui soluzioni sono $(a_1,a_2,a_3)=(2\alpha+3,\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha$ $in$ $RR$ Ora la mia è domanda è: Come è arrivato ad ...

Come è mio solito leggendo questo Forum, quando incontro cose che non conosco e che attirano la mia attenzione tendo a salvarle tra i preferiti per poi approfondirle quando ho un po' di tempo libero. In questo caso, come da titolo, sto rimuginando sull'esponenziale di matrice, che per motivi a me ignoti non abbiamo mai trattato in alcun corso, perlomeno tra quelli che ho seguito fino ad oggi. In particolare, ad attirare la mia attenzione è stato questo post, dove "ho scoperto" che ...

Salve ragazzi avrei bisogno di aiuto nel completare la seguente dimostrazione. Sia $(V,+,*)$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f:V->V$ un endomorfismo. Si dimostra le seguente uguaglianza. $f$ è monomorfismo $hArr f$ è epimorfismo $hArr f$ è automorfismo $hArr$ la matrice $A_f$ è invertibile. La parte che mi interessa è l'ultima doppia implicazione infatti ci è stata spiegata e dimostrata una proposizione ...

Buonasera, tra gli esercizi di esame una categoria molto frequente è quella di definire una base del nucleo e dell'immagine, come l'esercizio proposto. Scrivere, in funzione del parametro reale k, una base del nucleo ed una dell’immagine dell’applicazione lineare fk(x, y, z, t) = (t, x, 3x + y + kt, x + t). Ora, in teoria, una mezza idea la ho per risolvere questo esercizio ed è: 1) Mi trovo la matrice associata alla applicazione lineare con le basi canoniche; 2) Determino la dimensione ...

Nello spazio vettoriale V = R2[x] dei polinomi di grado minore o uguale a due a coefficienti reali nell’indeterminata x si considerino le basi A = {1 + x, 1 − x, x2} e B = {1, x, x2}. Sia poi f l’endomorfismo di V rappresentato, rispetto alle basi A in dominio e B in codominio, dalla matrice M=$((2,2,0), (0,2,-1), (2, 0, 1))$ Stabilire se esistono, ed in caso affermativo determinare, due basi C e D tali che la matrice che rappresenta f, rispetto alle basi C in dominio e D in codominio, ...

Buonasera. Avrei bisogno di una mano nella risoluzione del seguente esercizio: Si consideri la matrice reale A = $((1,0,1), (0, 2, 0), (1, 2, 0), (0, 0 ,1))$ e sia LA : R3 → R4, l’applicazione lineare definita da LA(x) = Ax. Stabilire se esistono una base B di R3 e una base C di R4 tali che la matrice che rappresentativa di LA, rispetto alle basi B in dominio e C in codominio, sia M = ...

Buon pomeriggio, avrei bisogno del vostro aiuto. Ho il seguente esercizio: Siano f: X→Y e g: Y→X applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita. Dimostrare che, se g(f(x)) è invettiva, allora f è invettiva e g è suriettiva. Potreste aiutarmi? grazie in anticipo.

Salve, ho un problema con il seguente esercizio: Quale dei seguenti punti del piano appartiene alla conica di equazione x²-3xy+2y²-3x-6=0? 1) (3 1) 2) (2 -1) 3) (-3 0) 4) (0 -2) Io la prima cosa che ho fatto è stato calcolarmi il delta di b²-4ac, il cui risultato è 9-8=1, deducendo che la conica in questione, essendo delta>0, è un'iperbole, ma dopo di ciò non riesco a proseguire. Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto.

Salve, ho difficoltà a sviluppare il seguente esercizio: Quale delle seguenti coniche è la conica del fascio di equazione λ(x-y+1)(2x+3y+1)+μ(x-2)(2x+y-3)=0 che passa per il punto di coordinate (-2 2)? 1)35(x-y+1)(2x+3y+1)+4(x-2)(2x+y-3)=0 2)20(x-y+1)(2x+3y+1)-3(x-2)(2x+y-3)=0 3)20(x-y+1)(2x+3y+1)+9(x-2)(2x+y-3)=0 4)3(x-y+1)(2x+3y+1)+2(x-2)(2x+y-3)=0 Potreste darmi una mano? Grazie.

Salve, ho questo insieme : E = {(x,y,z)∈ R^3 : x-2y-z = 0}⊆R^3 Devo dimostrare che E è un sottospazio di R^3 Il mio problema sorge proprio al primo passo perché dovrei trovare una relazione tra x,y,z tale che messa in un vettore generico ammettono lo 0 , ma questa relazione non riesco a trovarla essendoci una sola equazione (a questo punto vorrei anche chiedere se questa è condizione necessaria oppure no affinché sia un sottospazio, perché in caso non fosse necessaria ho risolto ...

Salve scusate , sono ore che cerco di capire questo problema ma proprio non mi entra in testa,la domanda è= Quante parole di 4 lettere (anche non di senso compiuto) posso formare con le lettere della parola ACONITO? E quante se la lettera iniziale è O? La risposta è 480 ,ma perchè? Della 2 non conosco risposta

Buonasera ragazzi, sto studiando per l'esame di G&A e sto riscontrando dei problemi con questa tipologia di esercizio. Scrivere una base di V1 ∩ V2 ed una di V1 + V2 dove: V1 = {(x1, x2, x3, x4) | x1 + x2 = 0} V2 = Qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere? Grazie mille