Applicazione lineare su base non canonica
Buongiorno a tutti,
se mi è data un'applicazione lineare F: R3 --> R3, definita tramite le componenti di 3 vettori qualsiasi, es.
F(1,0,0) = (2, 3, 1), F(1,1,0) = (0, 2, 4), F(1,1,1) = (-2, 1, 3).
Se mi chiede di calcolare Ker(F) e Im(F), posso riferirmi alla matrice associata alla base non canonica, costituita dai 3 vettori che definiscono F? O devo riportare tutto alla base canonica?
Nel primo caso, per costruire la matrice di F, devo calcolare le componenti delle immagini dei 3 vettori, rispetto alla base costituita appunto dai 3 vettori, giusto?
Oppure c'è un modo più veloce di svolgere l'esercizio?
Grazie mille a tutti per l'aiuto.
se mi è data un'applicazione lineare F: R3 --> R3, definita tramite le componenti di 3 vettori qualsiasi, es.
F(1,0,0) = (2, 3, 1), F(1,1,0) = (0, 2, 4), F(1,1,1) = (-2, 1, 3).
Se mi chiede di calcolare Ker(F) e Im(F), posso riferirmi alla matrice associata alla base non canonica, costituita dai 3 vettori che definiscono F? O devo riportare tutto alla base canonica?
Nel primo caso, per costruire la matrice di F, devo calcolare le componenti delle immagini dei 3 vettori, rispetto alla base costituita appunto dai 3 vettori, giusto?
Oppure c'è un modo più veloce di svolgere l'esercizio?
Grazie mille a tutti per l'aiuto.
Risposte
Poiché:
rispetto alla base naturale:
Altrimenti, più meccanicamente:
Inutile dire che, se non altrimenti detto, le equazioni cartesiane o le equazioni parametriche di un qualsiasi sottospazio vettoriale devono essere intese considerando le componenti rispetto alla base naturale.
$[[0],[1],[0]]=[[1],[1],[0]]-[[1],[0],[0]] rarr$
$rarr F[[0],[1],[0]]=[[0],[2],[4]]-[[2],[3],[1]] rarr$
$rarr F[[0],[1],[0]]=[[-2],[-1],[3]]$
$[[0],[0],[1]]=[[1],[1],[1]]-[[1],[1],[0]] rarr$
$rarr F[[0],[0],[1]]=[[-2],[1],[3]]-[[0],[2],[4]] rarr$
$rarr F[[0],[0],[1]]=[[-2],[-1],[-1]]$
rispetto alla base naturale:
$[[2,-2,-2],[3,-1,-1],[1,3,-1]]$
Altrimenti, più meccanicamente:
$[[2,0,-2],[3,2,1],[1,4,3]][[1,1,1],[0,1,1],[0,0,1]]^(-1)=$
$=[[2,0,-2],[3,2,1],[1,4,3]][[1,-1,0],[0,1,-1],[0,0,1]]=$
$=[[2,-2,-2],[3,-1,-1],[1,3,-1]]$
Inutile dire che, se non altrimenti detto, le equazioni cartesiane o le equazioni parametriche di un qualsiasi sottospazio vettoriale devono essere intese considerando le componenti rispetto alla base naturale.
Grazie mille Noodles,
sei stato davvero illuminante!
Buona giornata
sei stato davvero illuminante!
Buona giornata
[ot]Ma Noodles si riferisce al personaggio del film "C'era una volta in America"?[/ot]
Vorrei far notare che $"ker"(f)$ ed $"im"(f)$ sono sottospazi che dipendono unicamente da $f$, quindi non cambiano se si cambiano le basi di riferimento in dominio e codominio (i.e., se si cambia la rappresentazione matriciale di $f$).
Ciò che cambia è la rappresentazione dei sottospazi $"ker"(f)$ ed $"im"(f)$, la quale dipende dalla scelta delle basi di riferimento in dominio e codominio.
Quindi, se il testo dell'esercizio non ti prescrive alcuna scelta delle basi di riferimento, puoi fare ciò che vuoi: comunque fai, determini sempre gli stessi sottospazi (seppur descritti da equazioni differenti).
Nel caso in esame, puoi scegliere la base $\mathcal{B}=\{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}$ in $"Dom"(f) = RR^3$ e la base canonica $\mathcal{E}=\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ in $"Codom"(f) = RR^3$, di modo che $f:RR^3 -> RR^3$ si rappresenta mediante:
$F=F_{\mathcal{B}, \mathcal{E}} = ((2, 0, -2), (3, 2, 1), (1, 4, 3))$
che è non-singolare (perché ha $det(F) = -16$) e quindi il nucleo è il sottospazio nullo:
$"ker"(f) = \{ (0,0,0)\}$;
visto che $f$ è un automorfismo di $RR^3$, ciò implica che l'immagine coincide con lo spazio:
$"im"(f) = RR^3$.
Esercizio (per te): Cosa cambia se $f(1,1,1) = (-2,1,7)$?
Ciò che cambia è la rappresentazione dei sottospazi $"ker"(f)$ ed $"im"(f)$, la quale dipende dalla scelta delle basi di riferimento in dominio e codominio.
Quindi, se il testo dell'esercizio non ti prescrive alcuna scelta delle basi di riferimento, puoi fare ciò che vuoi: comunque fai, determini sempre gli stessi sottospazi (seppur descritti da equazioni differenti).
Nel caso in esame, puoi scegliere la base $\mathcal{B}=\{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}$ in $"Dom"(f) = RR^3$ e la base canonica $\mathcal{E}=\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ in $"Codom"(f) = RR^3$, di modo che $f:RR^3 -> RR^3$ si rappresenta mediante:
$F=F_{\mathcal{B}, \mathcal{E}} = ((2, 0, -2), (3, 2, 1), (1, 4, 3))$
che è non-singolare (perché ha $det(F) = -16$) e quindi il nucleo è il sottospazio nullo:
$"ker"(f) = \{ (0,0,0)\}$;
visto che $f$ è un automorfismo di $RR^3$, ciò implica che l'immagine coincide con lo spazio:
$"im"(f) = RR^3$.
Esercizio (per te): Cosa cambia se $f(1,1,1) = (-2,1,7)$?
Grazie mille gugo82,
anche tu mi hai chiarito un grande dubbio che avevo sull'uso delle basi di una applicazione lineare.
Riguardo all'esercizio per me, in tal caso sarebbe venuto rango(F)=2, dunque
dim(Im(F) = 2 e dim(Ker(F) = 3-2 = 1.
Per quanto precisato da te, potrei dire dunque che una base di Im(F) è costituita direttamente dalle prime 2 colonne della matrice F, giusto? Ovvero B = [(2,3,1), (0,2,4)]
Per il nucleo invece, dovrei prima determinare l'espressione cartesiana della funzione dalla matrice F, ovvero F(x,y,z) = (2x-2z, 3x+2y+z, x+4y+7z) (ovviamente rispetto alle basi fissate B ed E),
e poi imporre che le 3 componenti siano nulle, ovvero Ker(F) = (z, -2z, z).
Corretto?
Grazie ancora e buona giornata
anche tu mi hai chiarito un grande dubbio che avevo sull'uso delle basi di una applicazione lineare.
Riguardo all'esercizio per me, in tal caso sarebbe venuto rango(F)=2, dunque
dim(Im(F) = 2 e dim(Ker(F) = 3-2 = 1.
Per quanto precisato da te, potrei dire dunque che una base di Im(F) è costituita direttamente dalle prime 2 colonne della matrice F, giusto? Ovvero B = [(2,3,1), (0,2,4)]
Per il nucleo invece, dovrei prima determinare l'espressione cartesiana della funzione dalla matrice F, ovvero F(x,y,z) = (2x-2z, 3x+2y+z, x+4y+7z) (ovviamente rispetto alle basi fissate B ed E),
e poi imporre che le 3 componenti siano nulle, ovvero Ker(F) = (z, -2z, z).
Corretto?
Grazie ancora e buona giornata
"mie2mod":
Grazie mille gugo82,
anche tu mi hai chiarito un grande dubbio che avevo sull'uso delle basi di una applicazione lineare.
Prego.
"mie2mod":
Riguardo all'esercizio per me, in tal caso sarebbe venuto $"rango"(F)=2$, dunque
$dim("im"(f)) = 2$ e $dim("ker"(f)) = 3-2 = 1$.
Sì... Ma stai attento perché ci va la $f$ minuscola vicino a $"ker"$ ed $"im"$, cioè l'applicazione lineare, non la $F$ maiuscola, che è una matrice rappresentativa.
"mie2mod":
Per quanto precisato da te, potrei dire dunque che una base di Im(F) è costituita direttamente dalle prime 2 colonne della matrice F, giusto? Ovvero $mathcal(B) = \{(2,3,1), (0,2,4)\}$
Sì... Però se chiami anche questa $mathcal(B)$ vai a finire dove non sai (la $mathcal(B)$ è già occupata come lettera: è la base di $RR^3$ come dominio di $f$).
Meglio se la chiamiamo $mathcal(B)_("im"(f))$, và...
Osserva che i vettori di base sono espressi già rispetto alla base $mathcal(E)$ fissata nel codominio, che è quella canonica, quindi non devi manipolare nulla: i vettori sono quelli e basta.
"mie2mod":
Per il nucleo invece, dovrei prima determinare l'espressione cartesiana della funzione dalla matrice $F$, ovvero $F(x,y,z) = (2x-2z, 3x+2y+z, x+4y+7z)$ (ovviamente rispetto alle basi fissate $mathcal(B)$ ed $mathcal(E)$), e poi imporre che le tre componenti siano nulle, ovvero $"ker"(f) = (z, -2z, z)$ con $z in RR$.
Corretto?
Sì... A parte qualche piccola correzione/aggiunta che ho apportato nella citazione.[nota]Per scrivere ordinatamente le formule basta -per lo più- racchiuderle tra due simboli di dollaro $. Informazioni più approfondite qui.
[/nota]Osserva che $"ker"(f)$ è il sottospazio generato dal vettore $mathbf(v)$ le cui coordinate rispetto a $mathcal(B)$ sono $(1,-2,1)$, cioè $mathbf(v)_mathcal(B) = (1,-2,1)$... Quindi se vuoi conoscere le coordinate di $mathbf(v)$ rispetto alla base canonica[nota]Cioè se vuoi conoscere $mathbf(v)$, dato che la base canonica è l'unica base di $RR^3$ rispetto alla quale si verifica che le coordinate di un vettore coincidono con le componenti del vettore, i.e. $mathbf(v) = (a,b,c) <=> mathbf(v)_mathcal(E) = (a,b,c)$.[/nota] devi convertire le tue coordinate.
In particolare, se chiami $mathbf(b)_i$ per $i=1,2,3$ i tre vettori di $mathcal(B)$ espressi in coordinate rispetto ad $mathcal(E)$, si tratta di fare il seguente calcolo:
$mathbf(v) = mathbf(v)_mathcal(E) = 1*mathbf(b)_1 -2*mathbf(b)_2 + 1*mathbf(b_3) = (1,0,0) - 2*(1,1,0) + (1,1,1) = (1-2+1, 0-2+1, 0+0+1) = (0,-1,1)$,
o, in notazione matriciale:
$mathbf(v) = mathbf(v)_mathcal(E) = P*mathbf(v)_mathcal(B) = ((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))*((1),(-2),(1)) = (0,-1,1)$
in cui $P$ è la matrice di passaggio che si ottiene disponendo le coordinate di $mathbf(b)_1$, $mathbf(b)_2$ e $mathbf(b)_3$ (espresse rispetto alla base canonica) come colonne.
"gugo82":
[quote="mie2mod"]Grazie mille gugo82,
anche tu mi hai chiarito un grande dubbio che avevo sull'uso delle basi di una applicazione lineare.
Prego.
"mie2mod":
Riguardo all'esercizio per me, in tal caso sarebbe venuto $"rango"(F)=2$, dunque
$dim("im"(f)) = 2$ e $dim("ker"(f)) = 3-2 = 1$.
Sì... Ma stai attento perché ci va la $f$ minuscola vicino a $"ker"$ ed $"im"$, cioè l'applicazione lineare, non la $F$ maiuscola, che è una matrice rappresentativa.
"mie2mod":
Per quanto precisato da te, potrei dire dunque che una base di Im(F) è costituita direttamente dalle prime 2 colonne della matrice F, giusto? Ovvero $mathcal(B) = \{(2,3,1), (0,2,4)\}$
Sì... Però se chiami anche questa $mathcal(B)$ vai a finire dove non sai (la $mathcal(B)$ è già occupata come lettera: è la base di $RR^3$ come dominio di $f$).
Meglio se la chiamiamo $mathcal(B)_("im"(f))$, và...
Osserva che i vettori di base sono espressi già rispetto alla base $mathcal(E)$ fissata nel codominio, che è quella canonica, quindi non devi manipolare nulla: i vettori sono quelli e basta.
"mie2mod":
Per il nucleo invece, dovrei prima determinare l'espressione cartesiana della funzione dalla matrice $F$, ovvero $F(x,y,z) = (2x-2z, 3x+2y+z, x+4y+7z)$ (ovviamente rispetto alle basi fissate $mathcal(B)$ ed $mathcal(E)$), e poi imporre che le tre componenti siano nulle, ovvero $"ker"(f) = (z, -2z, z)$ con $z in RR$.
Corretto?
Sì... A parte qualche piccola correzione/aggiunta che ho apportato nella citazione.[nota]Per scrivere ordinatamente le formule basta -per lo più- racchiuderle tra due simboli di dollaro $. Informazioni più approfondite qui.
[/nota]Osserva che $"ker"(f)$ è il sottospazio generato dal vettore $mathbf(v)$ le cui coordinate rispetto a $mathcal(B)$ sono $(1,-2,1)$, cioè $mathbf(v)_mathcal(B) = (1,-2,1)$... Quindi se vuoi conoscere le coordinate di $mathbf(v)$ rispetto alla base canonica[nota]Cioè se vuoi conoscere $mathbf(v)$, dato che la base canonica è l'unica base di $RR^3$ rispetto alla quale si verifica che le coordinate di un vettore coincidono con le componenti del vettore, i.e. $mathbf(v) = (a,b,c) <=> mathbf(v)_mathcal(E) = (a,b,c)$.[/nota] devi convertire le tue coordinate.
In particolare, se chiami $mathbf(b)_i$ per $i=1,2,3$ i tre vettori di $mathcal(B)$ espressi in coordinate rispetto ad $mathcal(E)$, si tratta di fare il seguente calcolo:
$mathbf(v) = mathbf(v)_mathcal(E) = 1*mathbf(b)_1 -2*mathbf(b)_2 + 1*mathbf(b_3) = (1,0,0) - 2*(1,1,0) + (1,1,1) = (1-2+1, 0-2+1, 0+0+1) = (0,-1,1)$,
o, in notazione matriciale:
mathbf(v) = $mathbf(v)_mathcal(E) = P*mathbf(v)_mathcal(B) = ((1,1,1),(0,1,1),(0,0,1))*((1),(-2),(1)) = (0,-1,1)$
in cui $P$ è la matrice di passaggio che si ottiene disponendo le coordinate di $mathbf(b)_1$, $mathbf(b)_2$ e $mathbf(b)_3$ (espresse rispetto alla base canonica) come colonne.[/quote]
grazie mille di questa ottima spiegazione
Prego.
"dissonance":
[ot]Ma Noodles si riferisce al personaggio del film "C'era una volta in America"?[/ot]
[ot]Affermativo.[/ot]
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