Ortogonalità attraverso Spazi Duali
Ciao ragazzi,
Giorni fa leggendo alcune dispense di Algebra Lineare e Geometria (quelle famose di Cailotto) mi sono imbattuto in una definizione di ortogonalità.
Parlando di Spazi Vettoriali e basi, era la prima volta che leggevo una definizione del concetto ma, intuitivamente l'ho colto abbastanza bene in quanto è semplicemente un'estensione di quello che ci hanno spiegato alle scuole superiori, e fin qui tutto ok...
Ragionando sulla definizione però, non sono riuscito a coglierne il senso, ve la riporto qui:
Sia $S sube V$,
Allora si definisce:
$ S^_|_={v^(**)inV^(**) | s@ v^(**)=0, AA s inS} $
Dove V è spazio vettoriale.
Ho una grande confusione in testa perchè non capisco da dove venga questa definizione e non riesco ad inquadrarla (complice il fatto che il concetto di "Spazio duale" l'ho capito fino ad un certo punto).
Stando alla definizione...
Un vettore in V ha un ortogonale che non è un elemento di V stesso (come intuitivamente sono portato a pensare) ma bensì in V*, dunque è un funzionale che mappa tutti gli elementi di S in zero...
Dalla definizione poi S è un sottoinsieme qualsiasi, non un sottospazio, ma sono portato a pensare che valga:
$S^_|_ = span(S)^_|_$
Dico bene?
Potete aiutarmi ad avere un'idea più chiara del significato della definizione? Perchè "scomodare" i duali quando ragionando sulle basi sarebbe più semplice? ad esempio definendo un prodotto scalare...
Grazie mille
Giorni fa leggendo alcune dispense di Algebra Lineare e Geometria (quelle famose di Cailotto) mi sono imbattuto in una definizione di ortogonalità.
Parlando di Spazi Vettoriali e basi, era la prima volta che leggevo una definizione del concetto ma, intuitivamente l'ho colto abbastanza bene in quanto è semplicemente un'estensione di quello che ci hanno spiegato alle scuole superiori, e fin qui tutto ok...
Ragionando sulla definizione però, non sono riuscito a coglierne il senso, ve la riporto qui:
Sia $S sube V$,
Allora si definisce:
$ S^_|_={v^(**)inV^(**) | s@ v^(**)=0, AA s inS} $
Dove V è spazio vettoriale.
Ho una grande confusione in testa perchè non capisco da dove venga questa definizione e non riesco ad inquadrarla (complice il fatto che il concetto di "Spazio duale" l'ho capito fino ad un certo punto).
Stando alla definizione...
Un vettore in V ha un ortogonale che non è un elemento di V stesso (come intuitivamente sono portato a pensare) ma bensì in V*, dunque è un funzionale che mappa tutti gli elementi di S in zero...
Dalla definizione poi S è un sottoinsieme qualsiasi, non un sottospazio, ma sono portato a pensare che valga:
$S^_|_ = span(S)^_|_$
Dico bene?
Potete aiutarmi ad avere un'idea più chiara del significato della definizione? Perchè "scomodare" i duali quando ragionando sulle basi sarebbe più semplice? ad esempio definendo un prodotto scalare...
Grazie mille
Risposte
Il motivo in poche parole è che la dualità canonica (uso liberamente il gergo di aglq, tanto tra padovani ci capiamo) è l'applicazione bilineare universale, che è non degenere quando lo spazio è di dimensione finita, e che è tale per cui ogni altra applicazione bilineare non degenere su V consta esattamente di un isomorfismo tra V e il suo duale. In assoluta generalità questo è il massimo che puoi dire, per esempio la tua intuizione in termini di geometria delle scuole medie fallisce abbastanza quando prendi spazi su campi di caratteristica 2.
È un primo esercizio istruttivo mostrare quello che ho detto sopra (riguardo gli isomorfismi, non riguardo la caratteristica).
Un secondo esercizio istruttivo è, quando viene chiamata in causa la relazione tra dualità e ortogonalità, notare anche la relazione tra dualità e spazi quoziente.
È un primo esercizio istruttivo mostrare quello che ho detto sopra (riguardo gli isomorfismi, non riguardo la caratteristica).
Un secondo esercizio istruttivo è, quando viene chiamata in causa la relazione tra dualità e ortogonalità, notare anche la relazione tra dualità e spazi quoziente.
"megas_archon":
Il motivo in poche parole è che la dualità canonica (uso liberamente il gergo di aglq, tanto tra padovani ci capiamo) è l'applicazione bilineare universale, che è non degenere quando lo spazio è di dimensione finita, e che è tale per cui ogni altra applicazione bilineare non degenere su V consta esattamente di un isomorfismo tra V e il suo duale. In assoluta generalità questo è il massimo che puoi dire, per esempio la tua intuizione in termini di geometria delle scuole medie fallisce abbastanza quando prendi spazi su campi di caratteristica 2.
È un primo esercizio istruttivo mostrare quello che ho detto sopra (riguardo gli isomorfismi, non riguardo la caratteristica).
Un secondo esercizio istruttivo è, quando viene chiamata in causa la relazione tra dualità e ortogonalità, notare anche la relazione tra dualità e spazi quoziente.
Ciao megas, grazie per la risposta, ho letto quello che hai scritto nella discussione che hai linkato, provo a riscrivere per vedere se ho capito:
in pratica vale un isomorfismo
$ Bil(VxxV,K) ~= hom(V,V^(**))$
che è quello "naturale", che si ottiene mandando la forma bilineare
$B: VxxV rarr K$
in una funzione $f$ che fa questo:
$v|->B(v,x) in V^(**)$
dove v è fissato e x è l'incognita dell'omomorfismo $f=B(v,x)$, che è lineare poichè B è una forma bilineare.
Detto ciò, scegliendo un isomorfismo tra V e V* ottengo univocamente, attraverso quanto detto prima, una forma Bilineare in $Bil(VxxV,K)$.
Inoltre, attraverso un ragionamento che non sono riuscito a seguire (che hai scritto sempre nel post che hai linkato), si ottiene un'applicazione bilineare "universale", il che vuol dire che qualsiasi forma bilineare che condivide stesso dominio e codominio si può scrivere attraverso questa universale a meno di un isomorfismo.
A questo punto penso di avere le idee un po' confuse ma immagino che la corrispondenza tra forme bilineari e le forme lineari in $hom(V,V^(**))$ serva poi per dare la definizione più comune, cioè quella con il prodotto scalare, usando il fatto che quest'ultimo è una forma Bilineare e sarà indotto quindi dall'isomorfismo che scelgo tra tra V e V*?
Ma allora vale anche il viceversa? cioè data una forma Bilineare (come un prodotto scalare) questo indurrà un isomorfismo tra V e V* in modo poi da ottenere un'ortogonalità tra gli elementi di V?
data una forma Bilineare (come un prodotto scalare) questo indurrà un isomorfismo tra V e V* in modo poi da ottenere un'ortogonalità tra gli elementi di V?Questo è esattamente quel che devi capire di tutto il ragionamento! Benvenuto nell'illuminazione :fireworks_chikapww: !
"megas_archon":data una forma Bilineare (come un prodotto scalare) questo indurrà un isomorfismo tra V e V* in modo poi da ottenere un'ortogonalità tra gli elementi di V?Questo è esattamente quel che devi capire di tutto il ragionamento! Benvenuto nell'illuminazione :fireworks_chikapww: !
Grazie tante davvero, specialmente il thread che mi hai mandato nel messaggio di prima mi è stato utilissimo
Dato che ci siamo, io provo a chiedertelo, mi piacerebbe se provassi a riscrivere il ragionamento che hai fatto per ottenere la forma bilineare "fondamentale" perchè non riesco a seguirlo bene forse per mancanza di dettagli, a questo punto penso che gran parte del programma di geometria 2 si incentri su quello...
Una volta ottenuta la forma fondamentale infatti, avendo una forma Bilineare qualsiasi mi basterebbe comparare le due per ottenere l'isomorfismo corrispondente tra V e V* da quanto ho capito
"ProPatria":
Una volta ottenuta la forma universale infatti, avendo una forma Bilineare qualsiasi mi basterebbe comparare le due per ottenere l'isomorfismo corrispondente tra V e V* da quanto ho capito
provo ad esplicitarlo:
a rigor di logica se
$ϵ:V^(**)xxVrarrK$
è la forma universale e ho
$B:VxxVrarrK$
forma bilineare qualsiasi, il problema è quello di trovare quell'isomorfismo tra V e V* che soddisfi la commutatività del diagramma:
mi rendo conto che forse sto riformulando il problema in duemila modi ma sono sempre lì
Edit: Forse basta prendere
$f:VrarrV^(**)$
tale che:
$f: v_1|->B(v_1,-)$,
in questo modo chiaramente vale
$ϵ(B(v_1,-),v_2)=v_2@B(v_1,-)=B(v_1,v_2)$, dove nella prima uguaglianza ho data per buona la proprietà che hai enunciato della funzione universale.
Cioè... questo mi dice che per ottenere un isomorfismo tra V e V* da una forma Bilineare qualsiasi mi basta costruire una funzione $f$ che mappa $vinV$ nella medesima forma Bilineare con v fissato (che diventa quindi un funzionale):
$f: v |-> B(v,-)inV^(**)$
O sbaglio qualcosa??
Non capisco precisamente cosa stai cercando di dimostrare:
- la proprietà universale della dualità canonica?
- il fatto che una applicazione bilineare non degenere corrisponde a un isomorfismo tra $V$ e il suo duale (e viceversa)?
- la proprietà universale della dualità canonica?
- il fatto che una applicazione bilineare non degenere corrisponde a un isomorfismo tra $V$ e il suo duale (e viceversa)?
"megas_archon":
Non capisco precisamente cosa stai cercando di dimostrare:
- la proprietà universale della dualità canonica?
- il fatto che una applicazione bilineare non degenere corrisponde a un isomorfismo tra $V$ e il suo duale (e viceversa)?
la seconda, più in particolare era un "vagheggiamento" per capire esplicitamente il procedimento per ottenere un tale isomorfismo data una applicazione bilineare non degenere... questo nell'ultimo messaggio,
Poi la mia richiesta di prima era se gentilmente potessi cercare di spiegarmi meglio come ottieni la forma bilineare fondamentale, dato che non sono riuscito a capirlo dal thread che avevi linkato... in particolare il punto 7 della risposta che hai dato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8587282
nel messaggio in cui ho inviato il diagramma infatti quello che mi avevi annunciato sulla forma bilineare fondamentale l'ho data per buono, come anche le sue proprietà, per ottenere esplicitamente l'isomorfismo
come ottieni la forma bilineare fondamentaleLa ottieni trasponendo l'identità di \(V^\lor\), nella maniera che segue: esiste un isomorfismo
\[\Gamma_{UVW} : \text{Bil}(U\times V,W)\cong \hom_K(U\otimes V,W)\cong\hom_K(U,\hom(V,W))\cong\hom(V,\hom(U,W))\tag{$\heartsuit$}\] da cui ponendo \(W=K\) si ottiene \[\Gamma_{UVK}:\text{Bil}(U\times V,K)\cong \hom_K(U\otimes V,K)\cong\hom_K(U,\hom(V,K))=\hom(V,V^\lor)\] Ma allora, ponendo \(U=V^\lor\) si ha un isomorfismo
\[\Gamma_V : \text{Bil}(V^\lor\times V,K)\cong\hom_K(V^\lor,V^\lor)\] La dualità canonica è l'elemento \(\Gamma_V^{-1}(\text{id}_{V^\lor})\).
Anche il fatto che gli isomorfismi tra $V$ e il suo duale corrispondono alle applicazioni bilineari non degeneri segue dall'esistenza delle \(\Gamma_{UVW}\), perché ponendo \(U=V,W=K\) in \((\heartsuit)\) si ha \[\text{Bil}(V\times V,K)\cong \hom_K(V\otimes V,K)\cong\hom_K(V,\hom(V,K))=\hom(V,V^\lor)\] cosicché una mappa lineare \(V\to V^\lor\) corrisponde a una e una sola mappa bilineare \(V\times V\to K\) mediante \(\Gamma\), e una mappa lineare invertibile \(V\to V^\lor\) corrisponde a una e una sola mappa bilineare non degenere \(V\times V\to K\).
Così è come me lo spiegò Cailotto ai tempi
"megas_archon":
La dualità canonica è l'elemento \( \Gamma_V^{-1}(\text{id}_{V^\lor}) \).
Per esplicitare mi stai dicendo dunque che la dualità canonica "corrisponde" alla forma bilineare
$epsiloninBil(V^(**)xxV,K)$
$epsilon:(f,v)|->f(v)$
che è quella che nei messaggi precedenti hai chiamato "fondamentale".
Inoltre, per dilungarsi ancora (ti chiedo scusa
) e cercando di sintetizzare, ogni mappa in bilineare in $Bil(VxxV,K) $si può scrivere come una composizione tra questa $epsilon$ e un isomorfismo tra V e V*, e viceversa(?)
"ProPatria":
[quote="megas_archon"]La dualità canonica è l'elemento \( \Gamma_V^{-1}(\text{id}_{V^\lor}) \).
Per esplicitare mi stai dicendo dunque che la dualità canonica "corrisponde" alla forma bilineare
$epsiloninBil(V^(**)xxV,K)$
$epsilon:(f,v)|->f(v)$
che è quella che nei messaggi precedenti hai chiamato "fondamentale".[/quote] Sì.
Inoltre, per dilungarsi ancora (ti chiedo scusaNon lo so, perché non capisco bene cosa intendi! Direi di no, ma forse stai riscoprendo un fatto equivalente?
[quote]Inoltre, per dilungarsi ancora (ti chiedo scusaNon lo so, perché non capisco bene cosa intendi! Direi di no, ma forse stai riscoprendo un fatto equivalente?[/quote]
mi chiedevo se valesse la relazione:
$ epsilon(f(v),w)=B_(f)(v,w) $,
$AA(v,w)inVxxV$
dove $B_f$ è la forma bilineare corrispondente all'isomorfismo $f:VrarrV^(**)$.
in altre parole la domanda è se il seguente diagramma è commutativo:
"ProPatria":
Certo, se \(b\) è bilineare, la dualità canonica \(\_\circ\_ : V^\lor\times V\to K\) è la mappa bilineare universale tale che \(b(v,v')=\tilde b(v) \circ v'\), dove \(\tilde b : V\to V^\lor\) è la curryficata (trasposta? Aggiunta? Come la chiamavo di là?) di $b$.
Quanto sarebbe più facile spiegarvi le aggiunzioni invece di fare queste acrobazie... \[\hom_K(U\otimes V,W)\cong\hom_K(U,\hom_K(V,W)).\]
Quanto sarebbe più facile spiegarvi le aggiunzioni invece di fare queste acrobazie... \[\hom_K(U\otimes V,W)\cong\hom_K(U,\hom_K(V,W)).\]
"megas_archon":
Certo, se \(b\) è bilineare, la dualità canonica \(\_\circ\_ : V^\lor\times V\to K\) è la mappa bilineare universale tale che \(b(v,v')=\tilde b(v) \circ v'\), dove \(\tilde b : V\to V^\lor\) è la curryficata (trasposta? Aggiunta? Come la chiamavo di là?) di $b$.
Quanto sarebbe più facile spiegarvi le aggiunzioni invece di fare queste acrobazie... \[\hom_K(U\otimes V,W)\cong\hom_K(U,\hom_K(V,W)).\]
grazie davvero
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