Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Premessa
Volevo proporre un esercizio sulla topologia di Zariski, sia per vedere se l'ho svolto correttamente e sia per chi fosse curioso e volesse approfondire l'argomento. Si tratta di un esercizio molto lungo, quindi invito chiunque a correggermi nel caso avessi sbagliato qualcosa e avere pazienza nel leggere tutto. Grazie.
Testo
Sia $\mathbb{K}$ un campo (dove indichiamo con $0$ l'elemento neutro della somma e $1$ l'elemento neutro del prodotto). Sia ...
Provare che $P^n(CC)$ è compatto e T2, in particolare mostrare che $P^1(CC)$ è la compattificazione di
Alexandroff di $RR^2=CC$.
Abbiamo che $P^n(CC)$ è omeomorfo a $S^(2n+1)//S^1$ che è compatto (poichè $S^(2n+1)$ è compatto), per cui anche $P^n(CC)$ è compatto. Per mostrare che T2 avevo pensato di usare il fatto che $S^(2n+1)//S^1$ è T2 mostrando che l'insieme $K={(x,lambdax)| x inS^(2n+1), lambdainS^1}$ è chiuso di $S^(2n+1)xxS^(2n+1)$, però non so ancora bene come fare. ...
Volevo chiarire un passaggio del professore che non capisco bene, cerco quindi una mano.
Definita la copertura lineare come
$ζ=\{a_{1}{\mathbf v}_{1}+\cdots +a_{n}{\mathbf v}_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in RR\}$
in una dimostrazione usa questo passaggio.
abbiamo v1,v2 e w1,w2 linearmente indipendenti, e w1,w2 combinazioni lineari di v1, v2 e dice:
$ ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ (ovvia), per l'inclusione inversa invece gioca sulle dimensioni e sottospazi di dimensione 2.
Ma sinceramente non capisco perché si complichi la vita.
così come $ζ(w_1,w_2)⊆ ζ(v_1,v_2)$ anche ...
Non mi è chiara la definizione di varietà topologica dato che il mio professore a lezione l'ha definita come:
1) Uno spazio topologico $M$ è detto varietà topologica di dimensione $n$ se: $M$ è T2, $M$ è localmente euclideo, ogni componente connessa di $M$ è $N2$.
Quando però vado a fare gli esercizi da lui lasciati, trovo come definizione di varietà topologica nell'eserciziaro questa:
2)Una varietà topologica ...
Ciao
Ho una domanda stupida che però mi lascia pensare sulla dimostrazione del teorema
il professore scrive:
$0<=||vecx+lambda vecy||^2=||vecx||^2+2lambdavecx*vecy+lambda^2||vecy||^2$
ove l'ultimo polinomio è di secondo grado in lambda.
E dice: "tale polinomio deve essere sempre $>=0$ quindi deve avere al massimo una radice (e non posso averne due)".
Ma ora qui il dubbio: graficamente è una parabola che tocca l'ascissa la soluzione, secondo il prof., e qui non mi ci ritrovo, perché quando risolvo una $ax^2+bx+c>=0$ solitamente ...
Buondì,
mi iscrivo per una domanda che mi è sorta durante lo studio.
Mi è stato fatto vedere come R[x] spazio di polinomi di qualsiasi grado si a spazio vettoriale e come Rn[x] polinomi fino al grado n sia un suo sottospazio.
Sappiamo che una verifica di condizione necessaria per essere sottospazio vettoriale è che sia dotato dello zero, e ovviamente lo zero del sottospazio è lo stesso di quello dello spazio iniziale. Quindi noto lo 0 dello spazio se vedo che non sta in quello che è candidato ...
Se ho $ n $ vettori linearmente indipendenti di $ K^n $ posso dire automaticamente che sono anche una base senza verificare che sono anche un insieme di generatori ? Oppure possono esistere n vettori linearmente indipendenti di $ k^n $ che non sono una base?
bungiorno, ho un dubbio su una dimostrazione e volevo provare a capirci di più.
si vuole dimostrare che moltiplicando una riga non nulla per un termine non nullo ottendo un sistema equivalente.
Siano A e B il sistema originario e quello con una riga moltiplicata per il valore non nullo.
la dimostrazione mostra la veridicità delle due implicazioni seguenti:
- assume una n-upla solunzione del sistema A e mostra che => è soluzione anche di B
- poi assume la medesima n-upla soluzione di B e ...
Buongiorno,
vado cercando un aiuto su un fatto teorico che non mi è chiaro e che spesso il professore usa. Ma non capisco da cosa discenda.
Spesso quando c'è uno spazio V di dimensione n, noto che se ho {v_1,...v_k} contenuto in V alllora è sistema di generatori in particolare se k maggiore o uguale ad n e se {v_1,...v_k} contiene n vettori linearmente indipendenti.
Le domande per cui non mi è chiaro questo ragionamento sono due:
1) perché se ho un insieme di n vettori linearmente ...
Prendiamo $RR$ con la topologia euclidea, $QQsubRR$ con la topologia indotta, abbiamo che:
1) $QQ$ è sconnesso poichè se prendo $ainRR\\QQ$ abbiamo che $(-infty,a)nnQQ$ e $(a,+infty)nnQQ$ sono due aperti disgiunti di $QQ$ la cui unione fa $QQ$. Quindi $QQ$ è sconnesso per archi.
2)Le componenti connesse per archi sono i singoli punti $x inQQ$, infatti se per assurdo $y$ facesse parte della ...
Sono alle prese con il seguente esempio:
tramite la (5.2) $ (bar(u)xx bar(v))xx bar(w)=(bar(u)\cdot bar(w))bar(v)-(bar(v)\cdot bar(w))bar(u) $
io ottengo: $ lambdaa^2bar(b)+mua^2=bar(b) $
mentre nel testo si ha, $ lambdaa^2bar(b)=bar(b) $,
Non capisco perché si omette $ mu $, e perché non occorre determinarla, ma basta solo trovare lambda.
Grazie del vostro tempo.
Salve,
mi trovo con un dubbbio su una dimostrazione semplice:
"se $ker(f)={\vec0}$ allora se ${v_1,...,v_k}$ è libero allora anche ${f(v_1),...,f(v_k)}$ è libero."
proof:
sfrutto la linearità per hp: $f(lambda_1v_1+...+lambda_kv_k)=0_W => lambda_1v_1+...+lambda_kv_k in ker(f)$ (ma per hp2: $ker(f)={0_v}$)$=>lambda_1v_1+...+lambda_kv_k=0_v$ (ma ${v_1,...,v_k}$ è libero )$=> lambda_1=...=lambda_k=0$
quindi ${f(v_1),..., f(v_k)}$ è libero.
in questi casi ho sempre pensato in modo compatto che stessi mostrando una catena di implicazioni: =>..=>..=>..=>. chiamiamola "visione ...
Ho studiato due piccole proposizioni:
- Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali isomorfi. Esiste quindi un isomorfismo $f:V->W$. Si dimostra facilmente che $dimV=dimW$.
- Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali finitamente generati. Se $dimV=dimW$ allora $V$ e $W$ sono isomorfi.
So di avere la risposta sott'occhio ma mi è sorto un dubbio.
Mi basta sapere che la dimensione dei due spazi sia ...
Sia $WsubRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k ≤n-2$. Si provi che $RR^n\\W$ è connesso per archi.
Io ho pensato di fare per induzione per $n>=2$:
Passo base) Se prendo $RR^2$ e lo privo di un punto $P$ abbiamo due casi: se prendo due punti $x,y$ (non coincidenti e diversi da $P$) tali che $x,y,P $ non sono allineati allora posso collegare $x$ e $y$ con un segmento; ...
Si consideri l’azione del gruppo $ZZ$ su $CC^{ast}$ data da $(n,z)→ 2^nz$ per ogni $ninZZ$ , $zinCC^{ast}$. Sia $Y$ lo spazio topologico quoziente rispetto a quest’azione. Si provi che $Y$ è omeomorfo a $S^1xxS^1$.
Ho considerato questa funzione $f:CC^{ast}->S^1xxS^1$ definita come $f(z)=(e^(2\piilog_2(|z|)), z/|z|)$. Questa funzione è surriettiva, continua e inoltre è costante sulle classi di equivalenza di $Y$ e non altrove. ...
Ciao a tutti,
mi sto cimentando nell'arte della falegnameria realizzando poliedri più o meno complessi.
Ho terminato un icosaedro troncato (https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_icosahedron) e su tale link ho trovato tutte le informazioni necessarie, ovvero l'angolo che insiste tra ogni faccia esagono con le altre facce esagono collegate, ovvero 6-6: 138.189685°
Stessa cosa per l'ottaedro troncato: 6-6: arccos(−1/3) = 109°28′16″
Stessa cosa per il tetraedro troncato è: 6-6: 70°31′44″
Ora vorrei vorrei passare ad un Geode ...
Buongiorno. Sto provando a dimostrare che se dato un sottospazio affine $S={P inA|QP inW}$, esso descrive la struttura di spazio affine. Prima di tutto, il sottospazio affine è la tripla $(S,W,pi')$ con $WsubeV$ dove $V$ è la giacitura dello spazio affine $A$ e $SsubeA$ e $pi':SXS->W$. Per dimostrare il teorema, prima ho osservato che dati $P_1,P_2inS$,
$QP_1inW$ e $QP_2inW$. Ora bisogna dimostrare che l'applicazione ...
Di seguito darò per vere le seguenti definizioni, notazioni e convenzioni:
[list=1]
[*:1qsr8n09]Con \(\displaystyle \sim \) indico la relazione di equivalenza sull'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}) \) tale che, per ogni \(\displaystyle (a,b) \in ((\mathbb{R}^{3})\times (\mathbb{R}^{3}))^{2} \), si abbia \(\displaystyle a \sim b \iff \text{"} a \text{ e } b \text{ hanno direzioni parallele, lo stesso modulo e lo stesso verso"} \)[/*:m:1qsr8n09]
[*:1qsr8n09]Con ...
Si provi che se uno spazio topologico $X$ è compatto e T2 allora è T4.
Io ho fatto così:
Siano $F$ e $G$ due chiusi disgiunti (che sono anche compatti poichè $X$ è compatto). Sia $x inF$ allora $AAyinG$ siccome $X$ è T2 e $xnotinG$ ( e quindi $x!=y$) $EEA_{x,y},B_{y}$ aperti disgiunti tali che $x inA_{x,y}$ e $yinB_{y}$. Per cui $uu_{yinG}(B_ynnG)$ è ricoprimento aperto di ...
Ciao ragazzi ho un dubbio su una dimostrazione.
Il teorema dice:
Sia $b:VxV->K$ una forma bilineare simmetrica e $v\inV$ un vettore non isotropo rispetto a $b$ ($b(v,v)!=0_V$). Allora si ha $V=<v>o+v^_|_ $.
Quindi prima dimostra che l'intersezione è vuota e poi deve dimostrare che $\forall w \in V, \exists v'\in<v>, u \inv^_|_ t.c. w=v'+u$.
E fa così:
Sia $w\in V$ e definiamo $a_v(w)=(b(v,w))/(b(v,v)) \in K$ (coefficiente di Fourier). Si pone $v'=a_v(w)*v$ con $v'\in<v>$ e $u=w-v'$. ...
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