Prima forma fondamentale e curvature principali
Buonasera,
ho un esercizio in cui mi si chiede di trovare, prima, seconda forma fondamentale, operatore di Weingarten e curvature principali.
Fino all'operatore di Weingarten ci sono arrivata, e poi non riesco ad andare avanti ....
La superficie è descirtta da $z = \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4}$ e una parametrizzazione è $x = u, y = v, z = \frac{u^{2}}{9} - \frac{v^{2}}{9}$.
Per la prima forma fondamentale derivo rispetto ad $u$ e a $v$ e ottengo $X_{u}, X_{v}$ e con i prodotti scalari trovo i coefficienti della prima forma fondamentale $E, F, G$ che dovrebbero venire: $E = \frac{81+4u^{2}}{81}$, $F = \frac{-uv}{9}$ e $G = \frac{4 + v^{2}}{4}$. Il versore normale $N = \frac{X_{u} \times X_{v} }{||X_{u} \times X_{v} ||} = (\frac{-2u}{9} , \frac{v}{2} , 1) \frac{1}{\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)}$.
Quindi i coefficienti della seconda forma fondamentale sono $e = \frac{2}{9\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)$, $f = 0$ e $g = \frac{-1}{2\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)}}$.
Bene, una volta ottenuta la seconda forma fondamentale posso trovare l'inversa della matrice che rappresenta la prima forma fondamentale e poi moltiplicare questa per la matrice della seconda forma fondamentale e ottenere l'operatore di Weingarten.
Problema: una volta ottenuto posso trovare gli autovalori che sono le curvature principali ma mi vengono dei calcoli mostruosi.
C'è un'altra strada per arrivare a ciò? Tipo calcolare il massimo e il minimo della seconda forma fondamentale ristretta ai versori del piano tangente? ... Ma non so come impostare il problema nel caso.
ho un esercizio in cui mi si chiede di trovare, prima, seconda forma fondamentale, operatore di Weingarten e curvature principali.
Fino all'operatore di Weingarten ci sono arrivata, e poi non riesco ad andare avanti ....
La superficie è descirtta da $z = \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4}$ e una parametrizzazione è $x = u, y = v, z = \frac{u^{2}}{9} - \frac{v^{2}}{9}$.
Per la prima forma fondamentale derivo rispetto ad $u$ e a $v$ e ottengo $X_{u}, X_{v}$ e con i prodotti scalari trovo i coefficienti della prima forma fondamentale $E, F, G$ che dovrebbero venire: $E = \frac{81+4u^{2}}{81}$, $F = \frac{-uv}{9}$ e $G = \frac{4 + v^{2}}{4}$. Il versore normale $N = \frac{X_{u} \times X_{v} }{||X_{u} \times X_{v} ||} = (\frac{-2u}{9} , \frac{v}{2} , 1) \frac{1}{\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)}$.
Quindi i coefficienti della seconda forma fondamentale sono $e = \frac{2}{9\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)$, $f = 0$ e $g = \frac{-1}{2\sqrt{(\frac{4u^{2}}{81} + \frac{v^{2}}{4} + 1)}}$.
Bene, una volta ottenuta la seconda forma fondamentale posso trovare l'inversa della matrice che rappresenta la prima forma fondamentale e poi moltiplicare questa per la matrice della seconda forma fondamentale e ottenere l'operatore di Weingarten.
Problema: una volta ottenuto posso trovare gli autovalori che sono le curvature principali ma mi vengono dei calcoli mostruosi.
C'è un'altra strada per arrivare a ciò? Tipo calcolare il massimo e il minimo della seconda forma fondamentale ristretta ai versori del piano tangente? ... Ma non so come impostare il problema nel caso.
Risposte
Purtroppo nella matematica (come nella vita) bisogna trovare delle soluzioni furbe per andare avanti.
Ad esempio potrebbe farti comodo la parametrizzazione:
$x = 3/\sqrt2 (u+v)$
$y = 2/\sqrt2 (u-v)$
La superficie parametrizzata che si ottiene e' $(u,v, uv)$.
Non ho fatto i calcoli fino alla fine, ma dovresti andare avanti molto piu' spedita.
Ad esempio potrebbe farti comodo la parametrizzazione:
$x = 3/\sqrt2 (u+v)$
$y = 2/\sqrt2 (u-v)$
La superficie parametrizzata che si ottiene e' $(u,v, uv)$.
Non ho fatto i calcoli fino alla fine, ma dovresti andare avanti molto piu' spedita.
"Quinzio":
Purtroppo nella matematica (come nella vita) bisogna trovare delle soluzioni furbe per andare avanti.
Ad esempio potrebbe farti comodo la parametrizzazione:
$x = 3/\sqrt2 (u+v)$
$y = 2/\sqrt2 (u-v)$
La superficie parametrizzata che si ottiene e' $(u,v, uv)$.
Non ho fatto i calcoli fino alla fine, ma dovresti andare avanti molto piu' spedita.
Grazie mille, più tardi provo e ti faccio sapere!!
Seguendo le definizioni trovate qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_surface
$ z = \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} $
Parametrizzazione:
$ x = 3/2 (u+v) $
$ y = u-v $
Risultato:
$\bb r = (u, v, uv)$
$\bb{r_u} = (1, 0, v)$
$\bb{r_v} = (0, 1, u)$
$E = \bb{r_u} \cdot \bb{r_u} = 1+v^2$
$F = \bb{r_u} \cdot \bb{r_v} = uv$
$G = \bb{r_v} \cdot \bb{r_v} = 1+u^2$
$\hat \bb n = (\bb{r_u} \times \bb{r_v})/(|\bb{r_u} \times \bb{r_v}|) = {(-u, -v, 1)}/(\sqrt(1+u^2+v^2))$
$\bb{r_{u u}} = \bb 0$
$\bb{r_{u v}} = (0, 0, 1)$
$\bb{r_{v v}} = \bb 0$
$L = 0$
$M = 1/(\sqrt(1+u^2+v^2))$
$N = 0$
$\bb {F_1} = ((1+v^2,uv),(uv,1+u^2))$
$\bb {(F_1)^{-1}} = 1/((1+u^2)(1+u^2)-u^2v^2) ((1+u^2,-uv),(-uv,1+v^2))$
$\bb {F_2} = 1/(\sqrt(1+u^2+v^2)) ((0,1),(1,0))$
$\bb {(F_1)^{-1}} \bb {F_2} = 1/((1+u^2)(1+v^2)-u^2v^2) 1/(\sqrt(1+u^2+v^2)) ((-uv,1+u^2),(1+v^2, -uv))$
$det ((-uv-\bar k,1+u^2),(1+v^2, -uv-\bar k)) = 0$
$(-uv-\bar k)^2 - (1+u^2)(1+v^2) = 0$
$\bar {k_{1,2}} = -(uv + \sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}) $
$k_{1,2} = -1/((\sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}-uv) \sqrt(1+u^2+v^2)) $
https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_surface
$ z = \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} $
Parametrizzazione:
$ x = 3/2 (u+v) $
$ y = u-v $
Risultato:
$\bb r = (u, v, uv)$
$\bb{r_u} = (1, 0, v)$
$\bb{r_v} = (0, 1, u)$
$E = \bb{r_u} \cdot \bb{r_u} = 1+v^2$
$F = \bb{r_u} \cdot \bb{r_v} = uv$
$G = \bb{r_v} \cdot \bb{r_v} = 1+u^2$
$\hat \bb n = (\bb{r_u} \times \bb{r_v})/(|\bb{r_u} \times \bb{r_v}|) = {(-u, -v, 1)}/(\sqrt(1+u^2+v^2))$
$\bb{r_{u u}} = \bb 0$
$\bb{r_{u v}} = (0, 0, 1)$
$\bb{r_{v v}} = \bb 0$
$L = 0$
$M = 1/(\sqrt(1+u^2+v^2))$
$N = 0$
$\bb {F_1} = ((1+v^2,uv),(uv,1+u^2))$
$\bb {(F_1)^{-1}} = 1/((1+u^2)(1+u^2)-u^2v^2) ((1+u^2,-uv),(-uv,1+v^2))$
$\bb {F_2} = 1/(\sqrt(1+u^2+v^2)) ((0,1),(1,0))$
$\bb {(F_1)^{-1}} \bb {F_2} = 1/((1+u^2)(1+v^2)-u^2v^2) 1/(\sqrt(1+u^2+v^2)) ((-uv,1+u^2),(1+v^2, -uv))$
$det ((-uv-\bar k,1+u^2),(1+v^2, -uv-\bar k)) = 0$
$(-uv-\bar k)^2 - (1+u^2)(1+v^2) = 0$
$\bar {k_{1,2}} = -(uv + \sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}) $
$k_{1,2} = -1/((\sqrt{(1+u^2)(1+v^2)}-uv) \sqrt(1+u^2+v^2)) $
"Desirio":
[quote="Quinzio"]Purtroppo nella matematica (come nella vita) bisogna trovare delle soluzioni furbe per andare avanti.
Ad esempio potrebbe farti comodo la parametrizzazione:
$x = 3/\sqrt2 (u+v)$
$y = 2/\sqrt2 (u-v)$
La superficie parametrizzata che si ottiene e' $(u,v, uv)$.
Non ho fatto i calcoli fino alla fine, ma dovresti andare avanti molto piu' spedita.
Grazie mille, più tardi provo e ti faccio sapere!![/quote]
Può essere che $z = 2uv$? Domandone: Come hai fatto a ricondurti a questa parametrizzazione? Cioè da cosa si parte e come si ragiona? Grazie
"Desirio":Si, puo' essere. Ho corretto.
Può essere che $z = 2uv$?
Ricontrolla tutti i calcoli per vedere che non ci siano altri errori.
Domandone: Come hai fatto a ricondurti a questa parametrizzazione? Cioè da cosa si parte e come si ragiona? Grazie
E' un domandone da un milione di dollari.
Bisogna usare un po' di intuito, un po' di esperienza.
Ad esempio si deve cercare di rendere il tutto il piu' simmetrico possibile, passando da $x^2/9 - y^2/4 $ a una cosa tipo $u^2-v^2$.
Gia' questo dovrebbe semplificare molto.
Poi una trasformazione che ricorre abbastanza spesso e' che l'iperbole equilatera si puo' rappresentare come $x^2-y^2$ o ruotata di 45^ come $xy$.
Non c'e' una regola unica.
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