Omeomorfismo di antipodalità
Su $S^1$ si consideri la relazione di equivalenza di antipodalità $∼_a$, cioè per ogni $p, q in S^1$ si ha che $p ∼_a q $ se e solo se $p = q$ o $p =-q$. Si provi che lo spazio topologico quoziente è omeomorfo a $S^1$.
Allora io come omeomorfismo ho preso $f(x,y)=(sgn(x)y,-|x|)$. In poche parole ho considerato la semicirconferenza superiore e in cui vanno uniti i due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ poichè equivalenti, cosi da formare $S^1$, per trovarmi questo omeomorfismo quindi ho fatto un disegno del genere:
Vorrei sapere se fosse giusto e se come lo spiegato vada bene. Grazie.
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Allora io come omeomorfismo ho preso $f(x,y)=(sgn(x)y,-|x|)$. In poche parole ho considerato la semicirconferenza superiore e in cui vanno uniti i due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ poichè equivalenti, cosi da formare $S^1$, per trovarmi questo omeomorfismo quindi ho fatto un disegno del genere:
Vorrei sapere se fosse giusto e se come lo spiegato vada bene. Grazie.
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Risposte
Scusami. Chiamiamo $\hat S^1$ la circonferenza con quella relazione di equivalenza.
L'omomorfismo $f(x,y)$ che scrivi va da $S^1$ in $\hat S^1$ o va da $\hat S^1$ in $S^1$ ?
L'omomorfismo $f(x,y)$ che scrivi va da $S^1$ in $\hat S^1$ o va da $\hat S^1$ in $S^1$ ?
"ViciousGoblin":
Scusami. Chiamiamo $\hat S^1$ la circonferenza con quella relazione di equivalenza.
L'omomorfismo $f(x,y)$ che scrivi va da $S^1$ in $\hat S^1$ o va da $\hat S^1$ in $S^1$ ?
In teoria da $\hat S^1$ in $S^1$... però riguardandolo mi sa che ci sono dei problemi (tipo in $(1,0)$). L'idea però di prendere la semicirconferenza e raccordarla nei punti $ (1,0) $ e $ (-1,0) $ dovrebbe essere giusta.
Dunque se capisco (e guardo il disegno) consideri la semicirconferenza superiore come "rappresentante" di $\hat S^1$ perché ogni punto della semicirconferenza ha un solo rappresentante di $\hatS^1$. Naturalmente c'è l'eccezione dei due punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ che sono antipodali e che dunque devono essere mandati da $f$ nello stesso punto di $S^1$.
La tua definizione: sarebbe dunque $f(x,y):=(sgn(x)y,-|x|)$ definita su $S^+={x^2+y^2,y\geq0}$. E' vero che $f(1,0)=f(-1,0)$, però $f$ non è surgettiva a valori in $S^1$, dato che non ci sono $(x,y)$ per cui $f(x,y)=(0,-1)$. E non è neanche iniettiva dato che per esempio $f(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=f(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$.
La tua idea intuitiva di prendere $S^+$ e incollarla agli estremi è giusta, però devi trovare un'altra $f$... Ti consiglio di pensare in coordinate polari e poi tradurre la cosa in coordinate cartesiane.
La tua definizione: sarebbe dunque $f(x,y):=(sgn(x)y,-|x|)$ definita su $S^+={x^2+y^2,y\geq0}$. E' vero che $f(1,0)=f(-1,0)$, però $f$ non è surgettiva a valori in $S^1$, dato che non ci sono $(x,y)$ per cui $f(x,y)=(0,-1)$. E non è neanche iniettiva dato che per esempio $f(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=f(-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)$.
La tua idea intuitiva di prendere $S^+$ e incollarla agli estremi è giusta, però devi trovare un'altra $f$... Ti consiglio di pensare in coordinate polari e poi tradurre la cosa in coordinate cartesiane.
Scusa se ti rispondo solo adesso, ma ho avuto da fare in questi giorni, comunque la funzione in coordinate polari è $(cos(2\theta-pi/2),sen(2\theta-pi/2))$ mentre in coordinate cartesiane mi è venuto $(2xy,y^2-x^2)$
"andreadel1988":
Scusa se ti rispondo solo adesso, ma ho avuto da fare in questi giorni, comunque la funzione in coordinate polari è $(cos(2\theta-pi/2),sen(2\theta-pi/2))$ mentre in coordinate cartesiane mi è venuto $(2xy,y^2-x^2)$
Va bene. Io avrei risparmiato quel $-\pi/2$ usando la mappa $(\cos(\theta),\sin(\theta))\mapsto(\cos(2\theta),\sin(2\theta))$, cioè $(x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy)$.
Ma è lo stesso.
"ViciousGoblin":
Va bene. Io avrei risparmiato quel $-\pi/2$ usando la mappa $(\cos(\theta),\sin(\theta))\mapsto(\cos(2\theta),\sin(2\theta))$, cioè $(x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy)$.
Ma.in teoria cosi non vale che $f(1,0)=f(-1,0)=(1,0)$ invece che $(0,-1)$? Dato che dovevo raccordare l'estremo $(1,0)$ e l'estremo $(-1,0)$ in $(0,-1)$
"andreadel1988":
[quote="ViciousGoblin"]
Va bene. Io avrei risparmiato quel $-\pi/2$ usando la mappa $(\cos(\theta),\sin(\theta))\mapsto(\cos(2\theta),\sin(2\theta))$, cioè $(x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy)$.
Ma.in teoria cosi non vale che $f(1,0)=f(-1,0)=(1,0)$ invece che $(0,-1)$? Dato che dovevo raccordare l'estremo $(1,0)$ e l'estremo $(-1,0)$ in $(0,-1)$[/quote]
Perché vuoi mandare $(1,0)$ in $(-1,0)$ ? Puoi benissimo tenerlo fermo.
A te serve una mappa $\Phi:S^1\to S^1$ continua, surgettiva e tale che $\Phi(x_1,y_2)=\Phi(x_2,y_2)\Leftrightarrow (x_1,y_1)=\pm(x_2,y_2)$.
Questo fa sì che $\Phi$ passi al quoziente, diventi anche iniettiva (e poi vedi che l'inversa è continua).
"ViciousGoblin":
Perché vuoi mandare $(1,0)$ in $(-1,0)$ ? Puoi benissimo tenerlo fermo.
A te serve una mappa $\Phi:S^1\to S^1$ continua, surgettiva e tale che $\Phi(x_1,y_2)=\Phi(x_2,y_2)\Leftrightarrow (x_1,y_1)=\pm(x_2,y_2)$.
Questo fa sì che $\Phi$ passi al quoziente, diventi anche iniettiva (e poi vedi che l'inversa è continua).
Si si, è che io avevo pensato geometricamente di farlo in quel modo ho proseguito in quella strada ma è meglio come hai detto tu.
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