Span e sistema di generatori
Siccome oggi voglio farmi odiare volevo provare a risolvere un altro dubbio che mi era sorto stamane e cui forse solo ora ho trovato risposta. Tuttavia non mi fido molto del mio intuito e volevo chiedere un parere di correttezza del ragionamento.
Il mio professore ha detto che vi è legame tra span lineare e sistema di generatori, in realtà non si è addentrato molto in questo legame, tuttavia sempre svolgendo gli esercizi mi accorgo che vale qualcosa del genere che ho provato a formalizzare cosi:
DIM:
a) $x in V$ => (essendo W sistema di generatori, per definizione) ho che x è esprimibile come combinazione lineare di W => $x in S(W)$ poiché insieme di TUTTE le combinazioni lineari (per definizione di span)
b) dimostrare l'altra inclusione $x in S(W) => x in V $ è semplice in realta.
Ho già dimostrato con altro teorema (fatto noto) che $S(W)$ è sottospazio di V => $S(W)⊆V$ dato che un sottospazio è sottoinsieme dello spazio orginario
Potrebbe andar bene?
Il mio professore ha detto che vi è legame tra span lineare e sistema di generatori, in realtà non si è addentrato molto in questo legame, tuttavia sempre svolgendo gli esercizi mi accorgo che vale qualcosa del genere che ho provato a formalizzare cosi:
se $W:={vecv_1,....vecv_n}$ sottoinsieme di V spazio vettoriale è sistema di generatori, allora $V=S(W)$
Ossia mi pare di volermi dimostrare la doppia inclusione:
se $W:={vecv_1,....vecv_n}$ sottoinsieme di V spazio vettoriale è sistema di generatori => ($x in V => x in S(W)$ e $x in S(W) => x in V $)
Notazione S: span
$
DIM:
a) $x in V$ => (essendo W sistema di generatori, per definizione) ho che x è esprimibile come combinazione lineare di W => $x in S(W)$ poiché insieme di TUTTE le combinazioni lineari (per definizione di span)
b) dimostrare l'altra inclusione $x in S(W) => x in V $ è semplice in realta.
Ho già dimostrato con altro teorema (fatto noto) che $S(W)$ è sottospazio di V => $S(W)⊆V$ dato che un sottospazio è sottoinsieme dello spazio orginario
Potrebbe andar bene?
Risposte
Scusa, ma la definizione di sistema di generatori afferma che lo span di un sistema di vettori è lo spazio vettoriale ambiente.
Quindi cosa vorresti dimostrare?
Quindi cosa vorresti dimostrare?
Forse dipende dagli autori, ma il mio libo (Abbena) la mette in questi termini:
1) il sistema di generatori è un insieme di vettori per cui ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare
2) lo span invece lo definisce come tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori. E con altra dimostrazione dice solo che tale insieme è sottospazio dello spazio ambiente da cui ho pescato i vettori di cui faccio le infinite combinazioni lineari.
Ora, non sapendo nulla delle caratteristiche dello spazio vettoriale in questione potrebbe ad occhio avere più termini lo span, rispetto ai vettori dello spazio raggiunti dall'insieme di generatori. In quato non si esclude a priori che potrei avere una combinazione lineare tra tutte le possibili che non è un vettore (questo sarebbe da dimostrare, ed è quello che vorrei fare in un certo senso)
Per questo dovrei verificare la mia idea, secondo me. Sbaglio così tanto?
1) il sistema di generatori è un insieme di vettori per cui ogni vettore dello spazio può essere scritto come loro combinazione lineare
2) lo span invece lo definisce come tutte le possibili combinazioni lineari di un insieme di vettori. E con altra dimostrazione dice solo che tale insieme è sottospazio dello spazio ambiente da cui ho pescato i vettori di cui faccio le infinite combinazioni lineari.
Ora, non sapendo nulla delle caratteristiche dello spazio vettoriale in questione potrebbe ad occhio avere più termini lo span, rispetto ai vettori dello spazio raggiunti dall'insieme di generatori. In quato non si esclude a priori che potrei avere una combinazione lineare tra tutte le possibili che non è un vettore (questo sarebbe da dimostrare, ed è quello che vorrei fare in un certo senso)
Per questo dovrei verificare la mia idea, secondo me. Sbaglio così tanto?
Come scrivi tu stesso al punto (2):
\[
span\left\{\underline{v}_1,\dotsc,\underline{v}_r\right\}=\left\{\lambda_1\underline{v}_1+\dotsc+\lambda_r\underline{v}_r\in\mathbb{V}\mid\lambda_1,\dotsc,\lambda_r\in\mathbb{R}\right\},
\]
si dimostra in maniera quasi banale che questi è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\); in particolare si potrebbe avere un'eguaglianza, da cui seguirebbe che \(\left\{\underline{v}_1,\dotsc,\underline{v}_r\right\}\) è un sistema di generatori.
Non capisco tutti questi giri di Valzer! :-/
\[
span\left\{\underline{v}_1,\dotsc,\underline{v}_r\right\}=\left\{\lambda_1\underline{v}_1+\dotsc+\lambda_r\underline{v}_r\in\mathbb{V}\mid\lambda_1,\dotsc,\lambda_r\in\mathbb{R}\right\},
\]
si dimostra in maniera quasi banale che questi è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{V}\); in particolare si potrebbe avere un'eguaglianza, da cui seguirebbe che \(\left\{\underline{v}_1,\dotsc,\underline{v}_r\right\}\) è un sistema di generatori.
Non capisco tutti questi giri di Valzer! :-/
Aspetta, quello mi sembra più il mio punto 2) che il punto 1).
In ogni caso, ammettendo sia il mio punto 2 dove parlo appunto di span, date le definizioni dell' autore che ho riportato, il mio ragionamento è così errato? Cioè volevo capire se effettivamente dimostra quanto voluto, in primis.
Poi capito se almeno è corretto ragiono sul perché sia un giro di valzer inutile
Insomma voglio capire due cose
1) è almeno formalmente corretto quanto ho dimostrato o è sbagliato?
2) perché è un giro di valzer inutile? Stando alle definizioni dell'autore mi sembra utile invece.
In questo post volevo chiederti la domanda 1), cioè: è almeno corretto come passaggi?
Sulla due scrivo dopo, perché vorrei andare per gradi sennò viene un pasticcio
Chiedo a te una mano e ti ringrazio
In ogni caso, ammettendo sia il mio punto 2 dove parlo appunto di span, date le definizioni dell' autore che ho riportato, il mio ragionamento è così errato? Cioè volevo capire se effettivamente dimostra quanto voluto, in primis.
Poi capito se almeno è corretto ragiono sul perché sia un giro di valzer inutile
Insomma voglio capire due cose
1) è almeno formalmente corretto quanto ho dimostrato o è sbagliato?
2) perché è un giro di valzer inutile? Stando alle definizioni dell'autore mi sembra utile invece.
In questo post volevo chiederti la domanda 1), cioè: è almeno corretto come passaggi?
Sulla due scrivo dopo, perché vorrei andare per gradi sennò viene un pasticcio
Chiedo a te una mano e ti ringrazio
Ho corretto la mia svista!
Più che altro, la tua dimostrazione è semplificabile, in quanto (uso la tua notazione) \(S(W)\subseteq\mathbb{V}\) sempre!, quindi hai la necessità di dimostrare l'altra inclusione, cosa che fai!
Che il tutto sia un inutile giro di valzer: l'ho già scritto!, lo span è lo spazio vettoriale composto dalle combinazioni lineari dei vettori che lo generano!
Più che altro, la tua dimostrazione è semplificabile, in quanto (uso la tua notazione) \(S(W)\subseteq\mathbb{V}\) sempre!, quindi hai la necessità di dimostrare l'altra inclusione, cosa che fai!
Che il tutto sia un inutile giro di valzer: l'ho già scritto!, lo span è lo spazio vettoriale composto dalle combinazioni lineari dei vettori che lo generano!
Beh si, ma che S(W)⊆V sia sempre valida mi pare di averlo detto qui (dal primo post):
Non è esattamente quello che hai detto tu?
rimane come dici tu l'altra inclusione e mi pareva semplicemente:
a) x∈V => (essendo W sistema di generatori, per definizione) ho che x è esprimibile come combinazione lineare di W => x∈S(W) poiché lo span è l'insieme di TUTTE le combinazioni lineari (per definizione di span)
Mi sfuggiva quindi capire dove dici che è semplificabile. Intendevi forse dire che il punto a) va bene così ma nel punto b) potevo evitare di scrivere tutta la pappardella che ho scritto e bastava dire "vale sempre?" Diciamo che volevo solo far capire esplicitamente in ragionamento
b) dimostrare l'inclusione x∈S(W)⇒x∈V è semplice in realta.
Ho già dimostrato con altro teorema (fatto noto) che S(W) è sottospazio di V => S(W)⊆V dato che un sottospazio è sottoinsieme dello spazio orginario
Non è esattamente quello che hai detto tu?
rimane come dici tu l'altra inclusione e mi pareva semplicemente:
a) x∈V => (essendo W sistema di generatori, per definizione) ho che x è esprimibile come combinazione lineare di W => x∈S(W) poiché lo span è l'insieme di TUTTE le combinazioni lineari (per definizione di span)
Mi sfuggiva quindi capire dove dici che è semplificabile. Intendevi forse dire che il punto a) va bene così ma nel punto b) potevo evitare di scrivere tutta la pappardella che ho scritto e bastava dire "vale sempre?" Diciamo che volevo solo far capire esplicitamente in ragionamento
Io continuo a non capire cosa non capisci!
Non c'è nessun errore, solo che tu continui a scindere il concetto di sistema di generatori da quello di spazio generato da un sistema di vettori!
Non c'è nessun errore, solo che tu continui a scindere il concetto di sistema di generatori da quello di spazio generato da un sistema di vettori!
Mi devo essere spiegato male, in realtà ho compreso quello che mi dicevi, ossia che è errato scindere i due concetti, tuttavia avendo ormai fatto quella dimostrazione mi premeva capire solo se fosse corretta, e mi pareva di aver capito (male) che dicessi non lo fosse.
Capito ora che ha almeno logicamente senso mi posso dedicare alla seconda parte del dubbio (ho scisso i due dubbi solo per non fare un mescolone di due cose e non capirci più nulla, una cosa era capire se logicamente avesse senso e l'altra è capire questa seconda parte:)
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio perché noto che forse sono stato molto poco chiaro.
prima di tutto le definizioni, prendiamo quelle dell'autore del testo:
1)Definizione (sistema di generatori): dato un V spazio vettoriale diciamo un insieme ${v_1,...,v_n}⊆V$ insieme di generatori se per ogni x in V esistono $a_1$ scalari tali che: $x=a_1v_1+...+a_nx_n$
2) Definizione (span lineare): sia V spazio vettoriale e ${v_1,...,v_n}⊆V$ insieme. Lo span è l'insieme di tutte le combinazioni lineari := ${b_1v_1+...+b_nx_n|b_i in RR}$
OSS: è abbastanza ovvio che qualunque x che puo essere scritto come combinazione lineare del sistema di generatori (definizione 1) fa parte dello span lineare (dato che lo span son tutte le possibili e immaginabili cominazion lineari).
Ma per come è definito lo span lineare (definizione 2) nessuno ci assicura che imposti dei particolari b1...bn scalari la c.l. di questi ultimi sia di per sé un elemento "raggiungibile" col sistema di generatori, potrebbe infatti esserci una combinazione con dei b_i che non è elemento di V e quindi non avrebbe senso trovare gli $a_i$ scalari, dato che ha senso trovarli (per.definizione) solo se ho preso in considerazione un elemento di V.
Detto ciò, mi sembra meno ovvio dire che lo span è lo spazio vettoriale V in toto, che è composto dalle combinazioni lineari dei vettori che lo generano. Non riesco a vedere cosa me lo assicuri. Per quello volevo dimostrarlo. Dunque la domanda è: perché?
Capito ora che ha almeno logicamente senso mi posso dedicare alla seconda parte del dubbio (ho scisso i due dubbi solo per non fare un mescolone di due cose e non capirci più nulla, una cosa era capire se logicamente avesse senso e l'altra è capire questa seconda parte:)
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio perché noto che forse sono stato molto poco chiaro.
prima di tutto le definizioni, prendiamo quelle dell'autore del testo:
1)Definizione (sistema di generatori): dato un V spazio vettoriale diciamo un insieme ${v_1,...,v_n}⊆V$ insieme di generatori se per ogni x in V esistono $a_1$ scalari tali che: $x=a_1v_1+...+a_nx_n$
2) Definizione (span lineare): sia V spazio vettoriale e ${v_1,...,v_n}⊆V$ insieme. Lo span è l'insieme di tutte le combinazioni lineari := ${b_1v_1+...+b_nx_n|b_i in RR}$
OSS: è abbastanza ovvio che qualunque x che puo essere scritto come combinazione lineare del sistema di generatori (definizione 1) fa parte dello span lineare (dato che lo span son tutte le possibili e immaginabili cominazion lineari).
Ma per come è definito lo span lineare (definizione 2) nessuno ci assicura che imposti dei particolari b1...bn scalari la c.l. di questi ultimi sia di per sé un elemento "raggiungibile" col sistema di generatori, potrebbe infatti esserci una combinazione con dei b_i che non è elemento di V e quindi non avrebbe senso trovare gli $a_i$ scalari, dato che ha senso trovarli (per.definizione) solo se ho preso in considerazione un elemento di V.
Detto ciò, mi sembra meno ovvio dire che lo span è lo spazio vettoriale V in toto, che è composto dalle combinazioni lineari dei vettori che lo generano. Non riesco a vedere cosa me lo assicuri. Per quello volevo dimostrarlo. Dunque la domanda è: perché?
Provo a rispondere io...
Cosa vuol dire $V\subset S(W)$? Dalla definizione significa che ogni $v$ in $V$ è esprimibile come combinazione lineare di elementi di $W$. Ma questo è lo stesso che dire che $W$ è un sisteme di generatori. O no?
Dunque $W$ è un sistema di generatori <=> $V\subset S(W)$.
D'altra parte è ovvio che $S(W)\subset V$, dunque
$W$ è un sistema di generatori <=> $V= S(W)$.
Insomma, dire che $W$ è un sistema di generatori o dire che $S(W)=V$ è esattamente la stessa cosa.
Cosa vuol dire $V\subset S(W)$? Dalla definizione significa che ogni $v$ in $V$ è esprimibile come combinazione lineare di elementi di $W$. Ma questo è lo stesso che dire che $W$ è un sisteme di generatori. O no?
Dunque $W$ è un sistema di generatori <=> $V\subset S(W)$.
D'altra parte è ovvio che $S(W)\subset V$, dunque
$W$ è un sistema di generatori <=> $V= S(W)$.
Insomma, dire che $W$ è un sistema di generatori o dire che $S(W)=V$ è esattamente la stessa cosa.
"bagig":
potrebbe infatti esserci una combinazione con dei b_i che non è elemento di V e quindi non avrebbe senso trovare gli $a_i$ scalari, dato che ha senso trovarli (per.definizione) solo se ho preso in considerazione un elemento di V.
Ma $V$ è tutto lo spazio! Tutte le combinazioni lineari vivono in $V$.
Ok, mi pare chiaro. Tuttavia non capisco quello che voleva direj18eos, temo (nel suo ultimo msg)
Io ho scritto esattamente gli stessi concetti riscritti da VisciousGoblin!
Ok allora direi che mi torna .
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