Omeomorfismi tra sottoinsiemi di $RR^3$

[Angus1956]

Siano $A={(x,y,z)inS^2| x^2+y^2+z^2=1, z!=pm1}$, $B={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2=1}$, $C={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2=1, -1 Allora intanto mi basta trovare degli omeomorfismi da $B$ ad $A$, da $B$ a $C$ e da $C$ a $D$ e poi tutti gli altri li trovo come composizione o inversa di questi. Per trovarli ho fatto questi disegni:









Per il primo omeomorfismo da $B$ ad $A$, preso $zinRR$ (altezza della circonferenza nel cilindro) ho posto $(x')^2+(y')^2=z/(|z|+1)$ e $z'=sqrt(1-z/(|z|+1))$ (dove $P=(x',y',z')$ è un punto di $A$).
Per il secondo omeomorfismo da $B$ ad $C$ ho semplicemente preso la funzione $f(x,y,z)=(x,y,z/(|z|+1))$.
Per il terzo omeomorfismo da $C$ a $D$ preso $zin(-1,1)$ (altezza della circonferenza nel cilindro) ho posto $(x')^2+(y')^2=1/(1-z^2)$ e $z'=sqrt(z^2/(1-z^2))$ (dove $P=(x',y',z')$ è un punto di $D$).
Può andar bene?

[Quinzio]

Io li farei cosi':

Omeo. da $A$ a $B$: $(x/\sqrt(1-z^2), y/\sqrt(1-z^2), z/\sqrt(1-z^2))$
In pratica qui ho "normalizzato" la sfera in base alla distanza del punto di $A$ dall'asse $z$.
In questo modo $(x')^2+(y')^2 =1$ come nel cilindro.

Omeo. da $A$ a $C$: $(x/\sqrt(1-z^2), y/\sqrt(1-z^2), z)$
Idem, come prima, ma la coordinata $z'$ non viene normalizzata.

Omeo. da $A$ a $D$: $(x/(1-z^2), y/(1-z^2), z/\sqrt(1-z^2))$
Qui si prende l'omeo da $A$ a $B$ e poi si applica $(x')^2+(y')^2 = (z')^2+1$

[Quinzio]

"andreadel1988":
Per il primo omeomorfismo da $B$ ad $A$, preso $zinRR$ (altezza della circonferenza nel cilindro) ho posto $(x')^2+(y')^2=z/(|z|+1)$ e $z'=sqrt(1-z/(|z|+1))$ (dove $P=(x',y',z')$ è un punto di $A$).

Il problema e' che dovresti esplicitare $x$ e $y$ e poi, se ci guardi bene, la $z'$ non va mai in negativo, a causa della radice

Per il secondo omeomorfismo da $B$ ad $C$ ho semplicemente preso la funzione $f(x,y,z)=(x,y,z/(|z|+1))$.

Si questa funziona

Per il terzo omeomorfismo da $C$ a $D$ preso $zin(-1,1)$ (altezza della circonferenza nel cilindro) ho posto $(x')^2+(y')^2=1/(1-z^2)$ e $z'=sqrt(z^2/(1-z^2))$ (dove $P=(x',y',z')$ è un punto di $D$).
Può andar bene?

Anche qui c'e' il problema di esplicitare $x, y$ e la $z'$ che non va in negativo.

[Quinzio]

Io ti suggerirei di scrivere tutti i 3x4=12 omeomorfismi esplicitamente come ho fatto io, perche' non sono proprio ovvi e banali.

[Angus1956]

"Quinzio":Io li farei cosi':

Omeo. da $A$ a $B$: $(x/\sqrt(1-z^2), y/\sqrt(1-z^2), z/\sqrt(1-z^2))$
In pratica qui ho "normalizzato" la sfera in base alla distanza del punto di $A$ dall'asse $z$.
In questo modo $(x')^2+(y')^2 =1$ come nel cilindro.

Omeo. da $A$ a $C$: $(x/\sqrt(1-z^2), y/\sqrt(1-z^2), z)$
Idem, come prima, ma la coordinata $z'$ non viene normalizzata.

Omeo. da $A$ a $D$: $(x/(1-z^2), y/(1-z^2), z/\sqrt(1-z^2))$
Qui si prende l'omeo da $A$ a $B$ e poi si applica $(x')^2+(y')^2 = (z')^2+1$

Allora ho provato a trovare le inverse delle tue funzioni e mi sono venute queste;
Da $B$ a $A$: $(x/sqrt(1+z^2),y/sqrt(1+z^2), z/sqrt(1+z^2))$
Da $C$ a $A$: $(xsqrt(1-z^2),ysqrt(1-z^2),z)$
Da $D$ a $A$: $(x/(1+z^2),y/(1+z^2), z/sqrt(1+z^2))$

Gli altri omemorfismi in teoria si dovrebbero trovare come composizione degli omeomorfismi che hai trovato tu e le inverse che ho scritto io. Ad esempio per trovare l'omeomorfismo da $B$ a $D$ prendo l'omeomorfismo da $B$ a $A$ e lo compongo con quello da $A$ a $D$, usando l'usuale composizione tra funzioni. Se vuoi che li scriva, lo faccio.