Autovalori e autovettori
Al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ considera la matrice:
$A_k=((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))$
1) trova gli autovalori di $A_k$
2) stabilisci per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile
1) Per trovare gli autovalori devo porre:
$A_k*v=\lambda*v$
quindi:
$((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))*((x),(y),(z))=((\lambda x),(\lambda y),(\lambda z))$
Portando la matrice a sistema e rislvendolo ottengo la matrice:
$((5-k-\lambda,9,4-k),(0,k-5-\lambda,0),(4-k,3,6-k-\lambda))$
Per conoscere gli autovalori, devo porre il determinante di tale matrice a zero: $det=0$
Ottengo un determinante enorme e non so se sia giusto tutto il ragionamento...
2) come faccio a sapere se è diagonalizzabile?
$A_k=((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))$
1) trova gli autovalori di $A_k$
2) stabilisci per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile
1) Per trovare gli autovalori devo porre:
$A_k*v=\lambda*v$
quindi:
$((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))*((x),(y),(z))=((\lambda x),(\lambda y),(\lambda z))$
Portando la matrice a sistema e rislvendolo ottengo la matrice:
$((5-k-\lambda,9,4-k),(0,k-5-\lambda,0),(4-k,3,6-k-\lambda))$
Per conoscere gli autovalori, devo porre il determinante di tale matrice a zero: $det=0$
Ottengo un determinante enorme e non so se sia giusto tutto il ragionamento...
2) come faccio a sapere se è diagonalizzabile?
Risposte
per il punto uno il procedimento che stai facendo (di aggiungere -lamda nella diagonale) è corretto. in genere ti troverai con una cosa del genere alla fine dei calcoli:
λ^3 + λ^2 + λ + q
A questo punto devi fattorizzare e trovare per quali valori quel polinomio si annulla. questi valori saranno i tuoi autovalori.
2)
la matrice sarà diagonalizzabile se avrai 3 autovalori distinti oppure se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica
λ^3 + λ^2 + λ + q
A questo punto devi fattorizzare e trovare per quali valori quel polinomio si annulla. questi valori saranno i tuoi autovalori.
2)
la matrice sarà diagonalizzabile se avrai 3 autovalori distinti oppure se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica
"DavideD":
per il punto uno il procedimento che stai facendo (di aggiungere -lamda nella diagonale) è corretto. in genere ti troverai con una cosa del genere alla fine dei calcoli:
λ^3 + λ^2 + λ + q
A questo punto devi fattorizzare e trovare per quali valori quel polinomio si annulla. questi valori saranno i tuoi autovalori.
2)
la matrice sarà diagonalizzabile se avrai 3 autovalori distinti oppure se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica
Ok
Il primo punto non ero sicuro di aver fatto bene, ma da come mi hai detto è ok
Invece il secondo se dovessi trovare 3 autovalori distinti affermo che è diagonalizzabile.
Come faccio a vedere se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica?
Edit: Il valore $k$ non influisce sulla ricerca degli autovalori? Sicuramnte avrò fatto degli errori di calcolo nel calcolo del determinante, ma me li trovo ovunque
Come faccio a vedere se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica?
Edit: Il valore $k$ non influisce sulla ricerca degli autovalori? Sicuramnte avrò fatto degli errori di calcolo nel calcolo del determinante, ma me li trovo ovunque
Il valore k influisce, infatti devi studiare anche per quale valore di k i tre autovalori sono distinti.
Per calcolare la molteplicità geometrica devi sostituire, nella matrice dove hai aggiunto -λ, il valore di λ trovato, ridurre a scala. Fatto ciò, fai rango max - rango della matrice a scala, quello che ti viene è il valore della molteplicità algebrica di quel autovalore sostituito a λ.
Questo lo devi fare per tutti gli autovalori con molteplicità algebrica >1
"DavideD":
Come faccio a vedere se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica?
Edit: Il valore $k$ non influisce sulla ricerca degli autovalori? Sicuramnte avrò fatto degli errori di calcolo nel calcolo del determinante, ma me li trovo ovunque
Il valore k influisce, infatti devi studiare anche per quale valore di k i tre autovalori sono distinti.
Per calcolare la molteplicità geometrica devi sostituire, nella matrice dove hai aggiunto -λ, il valore di λ trovato, ridurre a scala. Fatto ciò, fai rango max - rango della matrice a scala, quello che ti viene è il valore della molteplicità algebrica di quel autovalore sostituito a λ.
Questo lo devi fare per tutti gli autovalori con molteplicità algebrica >1
Okok per la moltelicità la situazione è chiara
Il problema è nel determinante: $det=(-\lambda +k-5)(\lambda^2+2\lambda k-11\lambda-3k+14)$
con che approccio lo studio?
Devo porlo uguale a zero.
Quindi: $k-\lambda =-5$
E quindi come variano i due valori? $k=\lambda -5 -> \lambda=k+5$
e dall'altra parte è un po più complessa la situazione... come lo scompongo?
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